실제 가중치 그래프의 평균‑시간 서브큐빅 최단경로 알고리즘

본 논문은 실수 가중치를 갖는 그래프에서 모든 정점 쌍 간 최단거리를 구하는 문제를 다루며, 기존의 O(V³·log V) 복잡도를 갖는 Floyd‑Warshall 혹은 divide‑and‑conquer 방식(알고리즘 1)보다 평균적인 경우에 더 빠른 알고리즘을 제안한다. 저자들은 먼저 전통적인 divide‑and‑conquer 접근법을 소개하고, 각 단계에서 “min‑plus” 행렬 곱을 수행해야 함을 강조한다. 이때 핵심 연산은 식 (3) 형태인 Φ(a,b)=minₓ Ψ₁(a,x)+Ψ₂(b,x) 로, 이는 두 벡터 vₐ와 v_b의 원소를 각각 정렬한 뒤 최소 합을 찾는 문제와 동치이다. Lemma 1은 vₐ와 v_b의 p번째, q번째 작은 원소가 같은 인덱스를 가질 경우, 그 이후 원소들은 최소값 후보가 될 수 없다는 직관을 제시한다. 이를 기반으로 알고리즘 2는 두 정렬된 인덱스 배열(pₐ, p_b)을 순차적으로 탐색하면서 현재까지 발견된 최소값보다 “앞에” 있는 영역만을 검사한다. 탐색은 “start × start” 크기의 사각형이 최소값을 포함할 때까지 진행되며, 이 과정에서 읽는 원소 수는 기대적으로 O(√V) 로 분석된다. 기대 시간 분석은 vₐ와 v_b가 서로 독립적인 확률 변수라는 가정에 크게 의존한다. 저자들은 무작위 순열을 고려하여, 최소 사각형의 크기 M에 대한 누적분포함수 F(m)를 구하고, E