비선형 펄스 결합 흥분성 격자 모델의 불연속 비평형 상전이

초록

비선형(지수형) 전염률 강화와 확산 금지를 도입한 SIRS 모델을 완전·무작위 그래프와 1∼3차원 격자에서 시뮬레이션하였다. 약한 비선형성에서는 연속적인 흡수‑활성 전이가 나타나지만, 강한 비선형성에서는 차원 d≥2에서 불연속 전이가 발생하고 히스테리시스와 이중안정성이 확인된다. 평균장 이론이 전반적인 위상도를 잘 예측한다. 그러나 유사 비선형 결합을 가진 위상 동기화 모델과 달리 안정적인 동기화 상태는 나타나지 않으며, 긴 불응기와 높은 비선형성에서는 집단적 흥분성 및 불안정한 확률 진동이 관찰된다.

상세 분석

본 연구는 전통적인 확률적 SIRS(감수‑감염‑불응‑감수) 모델에 두 가지 핵심 변형을 가한다. 첫째, 감염률을 단순 선형 함수가 아니라 상태 i → j 전이 확률을 exp(α n_j) 형태의 지수함수로 정의함으로써 ‘비선형 강화’를 도입한다. 여기서 α는 비선형성 강도, n_j는 감염된 이웃의 수이다. 둘째, 확산(diffusion) 과정을 완전히 배제하여 각 사이트가 오직 펄스 형태의 전염만을 통해 상호작용하도록 설계했다. 이러한 설정은 실제 신경세포나 심장세포와 같이 신호가 급격히 전달되는 시스템을 모사하는 데 적합하다.

시뮬레이션은 (i) 완전 그래프(모든 노드가 서로 연결), (ii) 무작위 그래프(에라스뢴드 모델), (iii) d‑차원 초입방 격자(d=1,2,3)에서 수행되었다. 파라미터 공간은 비선형성 α와 기본 전염률 λ, 그리고 불응기 τ_R을 변동시켜 탐색하였다. 주요 관측량은 평균 감염 밀도 ρ와 그 변동성, 그리고 히스테리시스 루프를 확인하기 위한 양방향 스위프(bi‑directional sweep)이다.

결과는 두 개의 전이 양상을 명확히 구분한다. α가 작을 때(약한 비선형성)에는 λ가 임계값 λ_c를 초과하면 연속적인 전이가 일어나며, 이는 기존 SIRS 모델에서 보고된 퍼코레이터 전이와 동일한 보편적 클래스(보통 DP(Directed Percolation) 계통)로 해석된다. 반면 α가 충분히 클 때(강한 비선형성)에는 λ가 임계값을 통과할 때 급격한 ρ의 점프가 관찰되고, 특히 d≥2에서 히스테리시스 루프와 이중안정 영역이 뚜렷이 나타난다. 이는 전이율이 지수적으로 증가함에 따라 작은 감염 클러스터가 급격히 전체 네트워크를 장악하거나 사라지는 ‘폭발적 전염’ 메커니즘을 의미한다.

평균장 해석은 각 노드가 독립적으로 평균 감염률을 경험한다는 가정 하에 미분 방정식 dρ/dt = -ρ/τ_R + λ e^{α ρ} (1-ρ-σ) ρ 등으로 전개된다(σ는 불응 상태 비율). 이 방정식의 고정점 분석은 λ와 α에 대한 다중 고정점(안정·불안정) 존재를 예측하며, 특히 α가 크면 S-곡선 형태의 비선형 함수가 나타나 히스테리시스와 불연속 전이를 설명한다. 시뮬레이션 결과와 평균장 이론은 전반적인 위상도(연속‑불연속 전이 경계)에서 좋은 정량적 일치를 보인다.

흥미롭게도, 이전 연구(Wood 등, 2006)에서 비선형 결합을 가진 위상 동기화 진동자 모델은 강한 비선형성에서 부분 동기화(phase‑locked) 상태로 전이했지만, 현재의 펄스‑결합 흥분성 모델에서는 그러한 동기화가 전혀 나타나지 않았다. 이는 전이 메커니즘이 연속적인 위상 차이 조정이 아니라 이산적인 ‘감염‑불응’ 펄스에 기반하기 때문으로 해석된다. 다만, τ_R가 충분히 길고 α가 매우 클 경우, 시스템은 일시적인 대규모 감염 폭발을 일으키는 ‘집단적 흥분성(collective excitability)’을 보이며, 이때 ρ(t)의 시간 흐름이 불안정한 진동 형태를 띠지만 평균적으로는 소멸한다. 이러한 현상은 신경계에서 관찰되는 발작성 방전과 유사한 동역학을 시사한다.

요약하면, 비선형 강화가 도입된 펄스‑결합 SIRS 모델은 차원 의존적인 불연속 전이와 히스테리시스를 구현함으로써 비평형 통계물리학에서 ‘폭발적 전염’ 현상의 모델링에 새로운 시각을 제공한다. 평균장 이론과 수치 실험이 일관된 결과를 보여, 향후 복잡 네트워크(스케일프리, 커뮤니티 구조)나 외부 구동(주기적 자극)과 결합했을 때의 동역학을 탐구하는 데 유용한 기반을 제공한다.