하와이안 귀걸이 군에서 곱셈 연산의 불연속성

초록

본 논문은 하와이안 귀걸이(Hawaiian earring)의 기반 루프 공간에서 기본군으로 가는 자연스러운 몫 사상 q가 몫 사상이지만, 그 곱 q × q는 몫 사상이 아님을 보인다. 이로써 콤팩트 메트릭 공간의 기본군에 몫 위상(quotient topology)을 부여했을 때 항상 위상군이 되는가 하는 질문에 부정적인 답을 제시한다. 특히, 기본군에 대한 곱셈 연산이 연속하지 않음이 증명된다.

상세 분석

하와이안 귀걸이는 반지반경이 1/n인 원들을 원점에 겹쳐 만든 무한 연속체로, 그 기본군 π₁(H) 은 전통적인 자유군과는 달리 복잡한 구조를 가진다. 논문은 먼저 루프 공간 Ω(H, ∗) 에 컴팩트-오픈 위상을 부여하고, 동형동류에 의해 정의되는 몫 사상 q: Ω(H, ∗) → π₁(H, ∗) 가 연속이며 실제로 몫 사상임을 확인한다. 그러나 핵심은 q × q: Ω(H, ∗) × Ω(H, ∗) → π₁(H, ∗) × π₁(H, ∗) 가 다시 몫 사상이 되지 않는다는 점이다. 이를 위해 저자는 각 원 Cₙ 을 한 바퀴 도는 루프 aₙ을 정의하고, 무한 연쇄합 α = a₁ · a₂ · a₃ · … 와 그 변형들을 이용한다. α는 기본군에서 비자명한 원소이지만, α와 항등원 e 사이의 거리(위상적 의미)는 매우 미세하게 조절될 수 있다. 구체적으로, 루프들의 열 {α_k}를 구성해 q(α_k) → e 이지만, 두 루프의 곱 α_k·β_k (여기서 β_k 는 적절히 선택된 보조 루프) 의 이미지가 q(α_k·β_k) 는 e 가 아닌 고정된 비자명 원소 γ 에 수렴한다는 사실을 보인다. 따라서 (q × q)⁻¹(U) 가 열린 집합 U 에 대해 U 자체가 열려 있지 않음이 드러나, q × q 가 몫 사상이 아님을 증명한다. 이와 동시에, 기본군 π₁(H, ∗) 에 정의된 곱셈 연산 μ: π₁ × π₁ → π₁ 이 연속이 아님을 직접 확인한다. 연속성 실패는 위상군의 정의에 필수적인 연산 연속성 조건을 위반하므로, 하와이안 귀걸이의 기본군은 위상군이 아니다. 논문은 이러한 현상이 “첫 번째 가산성(first countability) 부재”와 “비정규성(non‑regularity)”과 깊은 연관이 있음을 논의하고, 기존에 제안된 whisker 위상이나 shape 위상과 같은 대안적 위상 구조와의 차이를 비교한다. 최종적으로, 콤팩트 메트릭 공간이라 할지라도 기본군에 몫 위상을 부여했을 때 위상군이 보장되지 않으며, 이는 기본군 위상화에 대한 기존 가설을 근본적으로 재검토해야 함을 시사한다.