외판원 그래프의 2 1 전체 라벨링 상한 정확히 규명

초록

본 논문은 외판원 그래프에 대한 (2,1)-전체 라벨링 문제에서, 최대 차수 Δ가 4 이하인 경우에도 라벨링 수 λ⁽ᵀ⁾₂(G) ≤ Δ+2 임을 증명한다. 기존 연구가 Δ≥5에 대해서만 증명했으나, 저자들은 구조적 귀납과 경우분할을 통해 모든 외판원 그래프에 대해 동일한 상한이 성립함을 보였다.

상세 분석

(2,1)-전체 라벨링은 정점과 간선에 정수를 할당하면서 인접 정점·간선 사이의 차이를 최소 1, 정점과 그에 인접한 간선 사이의 차이를 최소 2로 유지하도록 하는 문제이다. 라벨링 수 λ⁽ᵀ⁾₂(G)는 가능한 최소 최대값 k를 의미한다. 외판원 그래프는 평면 그래프 중에서도 모든 내측 면이 2차원 평면에 삽입될 수 있는 특수한 클래스이며, 최대 차수 Δ가 라벨링 상한을 결정하는 핵심 파라미터로 작용한다. Chen·Wang(2007)은 Δ≥5인 경우 λ⁽ᵀ⁾₂(G) ≤ Δ+2 를 증명하고, Δ≤4에 대해서는 아직 미해결 상태였다.

저자들은 먼저 외판원 그래프의 구조적 특성을 활용한다. 외판원 그래프는 2-연결 성분으로 분해할 수 있으며, 각 성분은 최소 하나의 외부 경로 혹은 사이클을 포함한다. 이를 바탕으로 “외부 경로 연장”과 “내부 삼각형 제거”라는 두 가지 기본 변환을 정의하고, 변환 후에도 Δ는 변하지 않으면서 라벨링 가능성을 유지한다.

핵심 아이디어는 귀납적 라벨링 확장이다. 기본 베이스 케이스는 Δ=2,3,4인 작은 그래프(예: 경로, 사이클, 2‑차원 그리드)의 직접 라벨링을 제시한다. 그런 다음, 임의의 외판원 그래프 G를 다음과 같이 분해한다.

1. 최소 차수 1인 정점을 찾아 제거하고, 남은 그래프 G’에 대해 귀납 가정을 적용한다.
2. G’에 대한 라벨링이 존재하면, 제거한 정점과 그 인접 간선을 기존 라벨링에 적절히 삽입한다. 여기서 중요한 점은 삽입 과정에서 사용 가능한 색(라벨) 집합이 최소 2개의 여유를 가진다는 것이다. 이는 Δ+2 라벨링 상한이 충분히 넉넉함을 의미한다.

특히 Δ=4인 경우, 기존 방법으로는 라벨 충돌이 발생할 위험이 크다. 이를 해결하기 위해 저자들은 “두 개의 교차 없는 외부 경로”를 동시에 고려하는 복합 경우분할을 도입한다. 각 경우마다 가능한 라벨 배치를 체계적으로 열거하고, 충돌을 피하기 위한 재배열(relabeling) 절차를 설계한다. 이 과정에서 라벨 0과 Δ+2를 고정점으로 두고, 나머지 라벨을 순환적으로 할당함으로써 모든 인접 관계를 만족시킨다.

결과적으로, 모든 외판원 그래프에 대해 λ⁽ᵀ⁾₂(G) ≤ Δ+2 가 성립함을 보였으며, 이는 기존 상한이 최적임을 의미한다. 또한, 증명 과정에서 제시된 구성적 알고리즘은 실제 라벨링을 구현하는 데도 활용 가능하다.