Banach Alaoglu 정리와 콤팩트 하우스도르프 공간에 대한 Tychonoff 정리의 동등성

초록

본 논문은 Banach‑Alaoglu 정리와 콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱에 대한 Tychonoff 정리가 서로 동등함을 보이는 새로운 간단한 증명을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 Banach‑Alaoglu 정리를 Tychonoff 정리로부터 유도한다. 이를 위해 임의의 실수계 노름공간 (X)의 이중공간 (X^{})의 단위볼을 각 선형함수 (\varphi\in X^{})가 정의하는 평가값 (\varphi(x))들의 집합으로 생각한다. 각 (x\in X)에 대해 (\Phi_{x}:X^{}\to\mathbb {K}) ((\mathbb {K}= \mathbb {R}) 또는 (\mathbb {C}))를 (\Phi_{x}(\varphi)=\varphi(x)) 로 정의하면, (\Phi_{x})는 연속이며 (|\Phi_{x}(\varphi)|\le |x||\varphi|) 를 만족한다. 따라서 단위볼 (B_{X^{}})는 (\prod_{x\in X} \overline{D}{|x|}) (여기서 (\overline{D}{r})는 복소평면(또는 실수선)상의 반지름 (r)의 닫힌 원판) 안에 자연스럽게 삽입된다. 이때 (B_{X^{}})에 부여되는 약한 별위상은 바로 이 곱위상에 의해 유도되는 부분위상과 일치한다. 이제 Tychonoff 정리(콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱은 콤팩트)를 적용하면 (\prod_{x\in X}\overline{D}{|x|})가 콤팩트함을 알 수 있고, 그 닫힌 부분집합인 (B{X^{}}) 역시 콤팩트가 된다. 따라서 Banach‑Alaoglu 정리가 증명된다.

반대로 Banach‑Alaoglu 정리를 가정하고 Tychonoff 정리를 도출한다. 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 (K)에 대해 연속 실함수 공간 (C(K))를 고려한다. (C(K))는 완비 노름공간이며, 그 이중공간 (C(K)^{})의 단위볼은 Banach‑Alaoglu에 의해 약한 별위상에서 콤팩트하다. 이제 각 점 (p\in K)에 대해 평가함수 (\delta_{p}:C(K)\to\mathbb {R}), (\delta_{p}(f)=f(p)) 를 생각하면 (\delta_{p})는 (C(K)^{})의 원소가 된다. 평가함수들의 집합 ({\delta_{p}\mid p\in K})는 (C(K)^{*})의 단위볼 안에 포함되고, 약한 별위상에서의 수열(또는 네트) 수렴은 각 연속함수에 대한 점별 수렴과 동일하다. 따라서 ({\delta_{p}})를 단위볼 안의 점들의 집합으로 식별하면, 이 집합은 곱공간 (\prod_{f\in C(K)}