밀집 방향 그래프의 해밀턴 순환 수 근사 개선 알고리즘

초록

본 논문은 밀집된 방향 그래프에서 해밀턴 순환의 개수를 근사하는 새로운 알고리즘을 제시한다. 순차적 수용‑거부 기법을 활용해 1‑인수(1‑factor) 비율을 이용한 새로운 상한을 도출하고, 이를 기반으로 기대 시간 $O(n^{8.5})$ 안에 근사값을 얻는다. 기존 마코프 체인 방식보다 최소 $n^{4.5}(\log n)^{4}$ 배 빠르며, 해당 문제는 #P‑Complete임을 보인다.

상세 분석

이 논문은 밀집된 방향 그래프(dense digraph)에서 해밀턴 순환(Hamiltonian cycle)의 개수를 효율적으로 근사하는 알고리즘을 설계하고, 그 복잡도와 정확도에 대한 이론적 분석을 제공한다. 핵심 아이디어는 “순차적 수용‑거부(sequential acceptance/rejection)” 기법을 도입하는 것으로, 이는 기존에 완전 이분 그래프에서 완전 매칭(perfect matching) 개수를 근사하는 데 성공적으로 사용된 방법을 방향 그래프에 맞게 변형한 것이다.

첫 번째 단계에서는 그래프의 1‑인수(즉, 모든 정점을 정확히 한 번씩 매칭하는 방향 1‑인수)의 총 개수를 구하거나 근사한다. 저자들은 1‑인수와 해밀턴 순환 사이의 비율을 이용해 새로운 상한을 증명한다. 구체적으로, 임의의 밀집 방향 그래프 $G$에 대해 해밀턴 순환의 수 $H(G)$는 1‑인수의 수 $F(G)$와 다음 부등식을 만족한다:
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