준정밀 해법: 베타 앙사츠를 이용한 차분식 QES 모델의 완전 해석

본 논문은 ‘이산 양자역학(discrete quantum mechanics)’이라는 새로운 양자역학적 틀 안에서, 기존에 정확히 풀 수 있던 차분식 모델들을 변형하여 유한 차원의 고유함수 공간을 보존하는 준정밀(Quasi‑Exactly Solvable, QES) 차분 방정식을 체계적으로 구축한다. 변형 대상이 되는 기본 모델은 메이크너‑폴라첵(Meixner‑Pollaczek), 연속 한(continuous Hahn), 연속 이중 한(continuous dual Hahn), 윌슨(Wilson), 아스키‑윌슨(Askey‑Wilson) 다항식에 대응하는 차분식 해밀토니안이며, 각각은 차분 연산자를 포함한 ‘상승·감소 연산자’ A, A† 로 표현된다. 논문은 먼저 이러한 정확히 풀 수 있는 모델에 복소 위상 인자 β와 다항식 형태의 추가 포텐셜 V₀(x)를 도입해 해밀토니안을 \(H = A^\dagger A + \alpha_M x\) 형태로 변형한다. 여기서 \(\alpha_M = -2M\sin\beta\) (섹션 2) 혹은 \(2Mx^2\) (섹션 3) 등으로 정의되며, M은 양의 정수이다. 변형된 해밀토니안은 자체적으로 ‘가짜 바닥파동함수(pseudo ground state wavefunction)’ \(\phi_0(x)\) 를 갖는다. \(\phi_0(x)\)는 감마함수와 복소 지수의 곱으로 구성되며, A\(\phi_0=0\)을 만족한다. \(\tilde H = \phi_0^{-1} H \phi_0\) 로 전이된 연산자는 차수 M 이하의 다항식 공간 \(\mathcal V_M = \text{Span}\{1, x, x^2, \dots, x^M\}\) 를 불변시킨다. 따라서 \(\tilde H\)는 \(\mathcal V_M\) 위에서 행렬 형태로 제한되며, 고유함수는 \(\Psi(x)=\prod_{l=1}^M (x - x_l)\) 와 같이 근들의 곱으로 표현된다. 고유값 방정식 \(\tilde H\Psi = E\Psi\)를 전개하면, 좌변은 상수 E, 우변은 x에 대한 유리함수 형태가 된다. x가 근 \(x_j\)에서 나타내는 극점의 잔여가 0이 되도록 하는 조건이 바로 베타 앙사츠 방정식이다. 예를 들어, 섹션 2에서 도출된 (2.11)식은 \