초고속 디지털화로 보는 혼돈 지도와 텐트 지도 연결

본 논문은 타원함수의 중복 공식에서 유도된 1차원 혼돈 지도, 즉 슈뢰더(Schröder) 지도와 그 해를 초고속 디지털화(ultradiscretization) 기법을 통해 텐트 지도와 그 해로 동시에 변환하는 과정을 상세히 제시한다. 첫 번째 장에서는 슈뢰더 지도 \(z_{n+1}=4z_n(1-z_n)(1-k^2z_n)(1-k^2z_n^2)^2\) 와 해 \(z_n=\operatorname{sn}^2(2^n u_0;k)\) 를 소개한다. 여기서 \(\operatorname{sn}\) 은 야코비 타원함수이며, 중복 공식 \(\operatorname{sn}(2u;k)=\frac{2\operatorname{sn}(u;k)\operatorname{cn}(u;k)\operatorname{dn}(u;k)}{1-k^2\operatorname{sn}^4(u;k)}\) 로부터 위 식이 도출된다. \(k=0\) 일 때는 로지스틱 지도와 동일함을 언급하고, 기존 연구에서 텐트 지도와 위상동형임을 상기한다. 두 번째 장에서는 초고속 디지털화의 핵심 식 \(\lim_{\varepsilon\to+0}\varepsilon\log\big(e^{A/\varepsilon}+e^{B/\varepsilon}+\dots\big)=\max(A,B,\dots)\) 를 이용한다. 직접적인 적용이 어려운 점을 보완하기 위해 변수 변환 \(x_n=\frac{z_n}{1-z_n}\) 를 도입해 정의역을 \(