시스템 1차 미분방정식의 λ‑대칭을 통한 차원 축소 방법

논문은 먼저 λ‑대칭의 배경과 기존 연구를 정리하고, 이를 시스템 형태의 1차 ODE에 적용하기 위한 수학적 틀을 구축한다. 단일 변수 경우 λ‑프로렁게이션 X^(1)_λ = X^(1) + λ Q ∂/∂ẋ와 동일한 구조를 갖도록, 다변량 경우에는 Λ라는 q×q 행렬을 도입해 X^(1)_Λ = X^(1) + (Λ Q)^a ∂/∂ẋᵃ 로 정의한다(식 3). 여기서 Qᵃ = ϕᵃ – τ ẋᵃ이며, Λ는 Q와 곱해지는 자유 행렬이므로 여러 선택이 가능하다. 시스템 F_a(t,u,ẋ)=0이 Λ‑대칭을 갖는다는 것은 X^(1)_Λ F_a = 0이 성립함을 의미한다(식 6). 이 조건은 일반적인 Lie‑대칭과 달리 해를 직접 보존하지 않지만, 시스템을 Λ‑불변 형태로 변환할 수 있음을 보인다. 이를 위해 X에 대한 대칭‑적응 좌표를 도입한다. η는 X에 대해 불변이며, wᵅ(α=1,…,q−1)와 z는 각각 X·wᵅ=0, X·z=1을 만족한다. 새로운 좌표계에서 X는 단순히 ∂/∂z가 되고, Λ‑프로렁게이션은 ∂/∂z와 추가 항 Mᵅ∂/∂w′ᵅ + M_q∂/∂z′ 로 표현된다(식 12‑15). 여기서 Mᵅ와 M_q는 Λ와 Q, 좌표 변환에 의해 결정되는 함수이다. 시스템을 이 좌표에 쓰면 원래 2q+1 개의 독립 변수( t, uᵃ, ẋᵃ )가 η, wᵅ, ζᵅ(ζᵅ는 식 20의 특성 방정식으로 정의) 로 축소된다. 이는 정리 1의 핵심 결과이며, ζᵅ는 η, z, wᵅ, w′ᵅ, z′ 로만 구성된다. 동적 시스템(˙uᵃ = fᵃ(t,u))에 특화하면, ζᵅ를 다시 w′ᵅ와 z′ 형태로 풀어내어 시스템을 명시적 형태(식 22‑23)로 유지할 수 있다. 정리 2는 Mᵅ=0인 경우 해당 방정식이 z에 의존하지 않으며, 모든 Mᵅ가 0이면 시스템이 q−1 차원 하위 시스템과 z에 대한 단일 ODE로 완전히 분리된다는 것을 보여준다. 정리 3은 Λ=λ I인 경우 Mᵅ=0(α=1,…,q−1)임을 증명하고, 이는 기존의 정확한 대칭과 동일한 구조적 단순화를 의미한다. 네 개의 예시가 논문의 이론을 구체화한다. 예시 1은 두 변수 시스템에 X=∂/∂u₂와 Λ=