성장하는 연조직의 형태 발생 메커니즘

초록

본 논문은 유한탄성 이론에 기반해 성장에 의해 발생하는 변형을 기하학적 변형 구배 텐서를 성장‑탄성 두 부분으로 곱분해하는 Rodriguez 모델을 확장한다. 얇은 구조물에 적용하기 위해 적절한 스케일링을 수행하면 포플‑폰 카르만(FvK) 방정식 형태의 비선형 판 이론이 도출된다. 이를 바탕으로 자유 초탄성 원판의 원주 방향 성장 사례를 분석하고, 성장에 따른 휨 및 복합 응력 분포를 정량적으로 제시한다.

상세 분석

Rodriguez가 제안한 변형 구배 텐서의 곱분해 F = Fᵉ · Fᵍ 는 성장 과정에서 발생하는 비가역 변형(Fᵍ)과 이를 보정하기 위한 탄성 변형(Fᵉ)을 명확히 구분한다는 점에서 기존의 선형 성장 모델을 뛰어넘는 강점을 가진다. 논문은 이 개념을 얇은 연조직, 즉 판 형태의 물체에 적용하기 위해 두 가지 핵심 가정을 설정한다. 첫째, 성장 텐서 Fᵍ 가 두께 방향으로는 거의 변하지 않으며, 주로 면 내에서의 등방성 혹은 이방성 팽창을 나타낸다. 둘째, 성장률이 시간에 따라 천천히 변한다는 ‘느린 성장(slow growth)’ 가정으로, 이는 변형률 텐서와 응력 텐서 사이의 비선형 관계를 단순화시키는 스케일링 근거가 된다. 이러한 스케일링을 통해 전체 3차원 유한탄성 방정식을 2차원 평면 응력 문제로 차원 축소할 수 있다.

차원 축소 과정에서 얇은 구조물의 중간면을 기준으로 변위 필드 w(x,y) (법선 변위)와 인-플레인 변위 u(x,y), v(x,y) 를 도입하고, 에너지 함수는 제1번째 Piola‑Kirchhoff 응력 텐서와 성장 텐서의 곱으로 표현된다. 여기서 핵심은 성장에 의해 발생하는 ‘불일치(compatibility)’를 해소하기 위해 탄성 변형이 추가된다는 점이다. 결과적으로 도출된 비선형 방정식은 전통적인 포플‑폰 카르만 방정식에 성장 텐서 Fᵍ 에 대한 항이 추가된 형태이며, 이는

Δ²w –