준정밀 해석 가능한 차분 양자역학 모델

초록

본 논문은 1차원 이산 양자역학에서 정확히 풀 수 있는 해밀토니안을 변형하여, 유한 개의 고유값과 고유함수를 정확히 구할 수 있는 준정밀 해석(Quasi‑Exactly Solvable, QES) 차분 방정식을 제시한다. 구체적으로, 조화진동자(구심력 포함)와 1/ sin²x 형태의 포텐셜을 각각 6차 다항식 및 cos2x 항으로 변형한 두 종류의 모델을 구축하고, 이들에 대해 다항식 불변 부분공간을 이용해 해를 구한다.

상세 분석

본 연구는 이산 양자역학(discrete quantum mechanics)이라는 프레임워크를 기반으로 한다. 이산 양자역학에서는 미분 연산자 대신 전진·후진 시프트 연산자 (e^{\pm\partial}) 혹은 (e^{\pm i\partial}) 로 구성된 차분 연산자를 사용한다. 이러한 차분 해밀토니안은 연속형 슈뢰딩거 방정식과는 달리, 정규직교 다항식군(예: Askey‑Wilson, Wilson, Meixner‑Pollaczek 등)과 직접적인 연관을 가진다. 기존에 정확히 풀 수 있는 모델들은 ‘shape‑invariance’라는 대수적 성질을 만족하여, 전이 연산자 (A, A^\dagger) 를 통해 전체 스펙트럼을 재귀적으로 얻을 수 있었다.

본 논문은 이러한 정확히 풀 수 있는 해밀토니안을 ‘변형(deformation)’함으로써, 전체 스펙트럼이 아닌 제한된 차원(보통 (N+1) 차원)의 다항식 부분공간에만 불변성을 유지하도록 설계한다. 구체적으로, 조화진동자 포텐셜 (V(x)=\frac12 x^2) 에 sextic 항 (\lambda x^6) 를 추가하고, 차분 형태로 전이 연산자를 재정의한다. 이때, 변형된 전이 연산자는 \