그래프 동형과 볼록체 부피 관계

초록

이 논문은 두 무방향 그래프의 동형 여부를, 원점 중심의 구와 교차한 세 개의 볼록 다면체의 부피 비교 문제와 동등하게 만든다. 각 다면체는 $n^2$개의 부등식으로 정의되며, 구의 반지름 $t_i$는 $0<t_1<t_2<\dots<\sqrt{n-1}$ 로 수렴한다. 부피를 근사하는 FPRAS가 존재함을 이용해 $O^*(n^{14})$ 시간 안에 그래프 동형성을 판정할 수 있는 반확률 알고리즘을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 그래프 동형 문제를 행렬의 순열 유사성 문제로 환원한다. 두 그래프 $G_1,G_2$의 인접 행렬 $A,B\in{0,1}^{n\times n}$에 대해, 어떤 순열 행렬 $P$가 존재해 $PAP^{-1}=B$이면 두 그래프는 동형이다. 이를 $n^2$개의 변수 $x_{ij}$ 로 이루어진 $n^2$ 차원 실공간에 매핑하고, $x_{ij}$ 를 $0$ 혹은 $1$ 로 제한하는 대신 $