연인 관계의 확률 비선형 역학

초록

본 논문은 연인·친밀 관계를 설명하기 위해 기존의 생물사회·생태·대인관계 이론을 수학적으로 확장한다. 먼저 2차원 결정론적 미분방정식 모델을 제시하고, 안정점과 주기적 궤도 등을 분석한다. 이어 확률적 요인(문화·역사·사회적 변동 등)을 반영한 비선형 확률 미분방정식(SDE)으로 일반화하고, Ito 해석을 통해 잡음이 존재할 때 나타나는 지속 진동·다중 안정성 전이를 보인다. 수치 시뮬레이션은 이러한 현상이 실제 인간 관계에서 관찰되는 감정의 파동과 일치함을 보여준다.

상세 분석

논문은 먼저 두 사람의 감정 상태를 (x(t), y(t)) 로 정의하고, 전통적인 선형 상호작용 모델 ( \dot{x}=a x + b y,; \dot{y}=c x + d y ) 를 비선형 함수 (f,g) 로 대체한다. 여기서 (f,g) 는 포화 효과와 감정 피드백을 반영하기 위해 로지스틱 형태 또는 하이퍼볼릭 탄젠트 형태를 취한다. 결정론적 시스템의 고정점은 (f(x^,y^)=0,; g(x^,y^)=0) 으로 정의되며, 야코비안 행렬 (J) 의 고유값을 통해 안정성(실부가 음이면 안정, 양이면 불안정)과 Hopf 분기 가능성을 검증한다. 특히 매개변수 (b,c) (상호작용 강도) 가 임계값을 초과하면 복소 고유값 쌍이 실축을 교차해 고리형 궤도가 생성되는 것을 보인다. 이는 “사랑의 진동”이라 부르는 현상을 수학적으로 정당화한다.

다음 단계에서는 외부 요인(문화적 규범, 사회적 압력, 개인의 과거 경험 등)을 잡음 항 (\sigma_1 dW_1(t), \sigma_2 dW_2(t)) 로 모델링한다. 여기서 (W_i(t)) 는 독립적인 위너 프로세스이며, 잡음 강도 (\sigma_i) 는 환경 변동성에 비례한다. SDE 형태는
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