곱연산 기반 포인트 프로세스와 신경 모델링 응용

초록

본 논문은 고전적인 Hawkes 프로세스에 비선형 곱연산을 도입해 억제성 연결을 자유롭게 구현한 새로운 포인트 프로세스 모델을 제시한다. 이 모델은 지수형 전이 함수를 갖는 스파이킹 뉴런 네트워크를 수학적으로 기술하며, 평균 발화율을 1차 미분 방정식으로 근사한다. 해의 안정성을 분석하고, 이를 기반으로 파라미터에 강인한 승자-독점(WTA) 네트워크를 구현한다. 마지막으로 일반화 선형 모델(GLM)과의 관계를 논의한다.

상세 분석

이 연구는 Hawkes 프로세스의 기본 구조를 유지하면서, 각 뉴런의 순간 발화 강도를 다른 뉴런의 현재 발화 강도의 곱으로 조정하는 곱연산적 상호작용을 도입한다는 점에서 혁신적이다. 기존 Hawkes 모델은 양의 가중치만 허용해 억제성 연결을 구현하려면 복잡한 변환이나 비선형 함수를 추가해야 했지만, 제안된 모델은 가중치가 양이든 음이든 자유롭게 설정할 수 있다. 수학적으로는 각 뉴런 i의 조건부 강도 λ_i(t) 를
λ_i(t)=exp(μ_i+∑j w{ij}·h_j(t))
와 같이 정의한다. 여기서 h_j(t)는 뉴런 j의 최근 스파이크 히스토리를 나타내는 필터링된 점 과정이며, w_{ij}는 곱연산적 결합 강도이다. 이 형태는 지수 전이 함수를 갖는 GLM과 동일한 형태이지만, 곱연산을 통해 억제성(음수 w_{ij})을 자연스럽게 포함한다는 차별점을 가진다.

모델의 평균 발화율을 구하기 위해 점 과정의 기대값을 취하면, λ_i(t)의 기대값 m_i(t)=E