이산 양자역학의 정확해와 형상 불변성, 히젠베르크 해법, 생성·소멸 연산자 및 코히어런트 상태

본 논문은 차분 연산자를 핵심으로 하는 ‘이산’ 양자역학 시스템을 전반적으로 정리하고, 그 정확해와 대칭구조를 다각도로 분석한다. 서론에서는 이산 양자역학이 기존 양자역학의 모멘텀 연산자를 e^{±γp} 형태로 변형한 것임을 밝히며, 이로 인해 스펙트럼 방정식이 차분 방정식으로 바뀌는 점을 강조한다. 차분 형태는 복소수 시프트 iγ 를 포함하므로, 해밀토니안 H 은 V(x) 와 V*(x) 를 이용한 두 개의 차분 연산자 e^{±γp} 의 조합으로 정의된다(식 2.1). 다음으로 해밀토니안을 인자화하는 팩터화 기법을 소개한다. S±, S†± 연산자를 정의하고, 이를 통해 A=i(S⁺−S⁻), A†=−i(S†⁺−S†⁻) 를 구성한다. 바닥 상태 φ₀(x) 는 A φ₀=0 조건을 만족하도록 선택되며, 이는 실수이며 비소멸성을 갖는다(식 2.8). 이 바닥 상태는 전체 고유함수 φₙ(x)=φ₀(x) Pₙ(η(x)) 의 전제이며, Pₙ 은 ‘사인소이드 좌표’ η(x) 에 대한 다항식이다. 핵심 개념인 형상 불변성은 A(λ)A†(λ)=κ A†(λ+δ)A(λ+δ)+E₁(λ) (식 2.15)으로 표현된다. 파라미터 λ 가 일정량 δ 만큼 이동해도 해밀토니안의 형태가 동일하게 유지되며, 이는 에너지 스펙트럼을 재귀적으로 생성할 수 있게 한다. 구체적으로 Eₙ(λ)=∑_{s=0}^{n-1}κ^{s}E₁(λ+sδ) 이며, 고유함수는 A† 의 연속 작용을 통해 로드리게스식으로 얻어진다(식 2.19). 히젠베르크 연산자 해법은 ‘폐쇄 관계’