연장과 재정규화된 트레이스

초록

이 논문은 연관된 대수 확장의 주기적 사이클릭 동형사상에서 연결 사상이 Chern‑Connes 문자와 K‑이론의 지수 사상 사이에 호환된다는 Nistor의 결과를, 추상적 excision 대신 구체적인 공식으로 전개한다. 저자들은 이전 작업에서 도입한 재정규화 기법을 이용해, 쿼시동형사상에 대한 이중 Chern 문자와 “국소” 지수 공식(비가환 기하학적 의미)을 구축한다. 특히, 타원형 의사미분 연산자 가족에 대한 고전적 가족 지수 정리를 다루며, 지수 번들의 특성 수가 섬유별 Wodzicki 잔여와 어떻게 연결되는지를 명시한다.

상세 분석

Nistor가 증명한 바와 같이, 복소수 체 위의 연관된 대수 확장 (0\to J\to A\to B\to0) 에 대해 주기적 사이클릭 동형사상 (HP_) 의 연결 사상 (\partial:HP_{}(B)\to HP_{+1}(J)) 은 Chern‑Connes 문자 (\operatorname{ch}:K_{}\to HP_{}) 와 알gebraic K‑이론의 지수 사상 (\operatorname{Ind}:K_{+1}(B)\to K_{*}(J)) 사이에 (\operatorname{ch}\circ\operatorname{Ind}= \partial\circ\operatorname{ch}) 라는 동형성을 만족한다. 이 결과는 사이클릭 이론의 핵심 성질인 excision 에 의존하지만, excision 은 ‘존재는 보장하지만 구체적 형태는 제공하지 않는다’는 한계를 가진다. 따라서 실제 계산, 특히 비가환 기하학에서 나타나는 ‘국소 지수 공식’ 을 얻기 위해서는 보다 구체적인 전개가 필요하다.

저자들은 자신들의 이전 연구에서 제시한 재정규화 절차를 차용한다. 그 절차는 쿼시동형사상(두 대수 사이의 ‘가짜’ 호몰로지적 관계)을 이중 Chern 문자 (\operatorname{Ch}^{\mathrm{biv}}: \operatorname{QH}(A,B)\to HP_{*}(A,B)) 로 전달하고, 여기서 발생하는 발산 항들을 Wodzicki 잔여와 같은 ‘국소’ 트레이스로 제거한다. 핵심 아이디어는 차원 감소 연산자를 이용해 복소수 체 위의 ‘정규화된’ 트레이스 (\tau_{\mathrm{ren}}) 를 정의하고, 이를 통해 연결 사상의 구체적 코체인을 얻는 것이다. 이 과정은 전통적인 excision 의 추상적 증명과는 달리, 실제 연산자와 심볼 계산에 직접 적용될 수 있다.

특히, 타원형 의사미분 연산자 가족 ({P_{x}}{x\in X}) (여기서 (X) 는 매끄러운 매니폴드) 에 대해, 지수 번들 (\operatorname{Ind}(P)\in K^{0}(X)) 의 차원과 Chern 클래스는 섬유별 Wodzicki 잔여 (\operatorname{Res}{W}) 로 표현될 수 있음을 보인다. 구체적으로, 각 섬유 (F_{x}) 위의 심볼 (\sigma(P_{x})) 에 대해 \