선형 자동동형의 이중군과 그 리 이중대수

초록

아벨 범주 (\mathcal{C})가 (AB5)를 만족하고 기저 스킴 (S) 위에 정의될 때, 저자는 평탄 사이트 위에 2‑군 스택 (\mathrm{GL}(\mathcal{C}))를 구성한다. 특히 (\mathcal{C}= \operatorname{QCoh}(X))인 경우 구체적인 기술을 제시하고, 이 스택의 원점에서의 접공간 (\mathfrak{gl}(\mathcal{C}))가 자연스럽게 Lie 2‑대수 구조를 갖는 것을 증명한다.

상세 분석

이 논문은 아벨 범주 (\mathcal{C})에 대한 선형 자동동형을 2‑범주 수준에서 다루는 최초의 시도 중 하나이다. 먼저 저자는 (AB5) 조건, 즉 임의의 직접합이 존재하고 유한한 직렬극한이 보존되는 아벨 범주를 가정한다. 이러한 가정은 특히 (\operatorname{QCoh}(X))와 같은 대수기하학적 상황에서 자연스럽다. 평탄 사이트 (\mathrm{Sch}_{/S}^{\mathrm{fl}}) 위에 스택 (\mathrm{GL}(\mathcal{C}))를 정의할 때, 객체는 (T\to S)에 대한 (\mathcal{C}T:=\mathcal{C}\otimes{\mathcal{O}_S}\mathcal{O}_T)의 (\mathcal{O}_T)-선형 자동동형(즉, 정확한 가역함수)이며, 1‑사상은 자연 변환, 2‑사상은 변환 사이의 동형사상으로 잡는다. 이때 스택이 2‑군 구조를 갖는다는 것은 곱셈(합성)과 역원 연산이 모두 스택 수준에서 가법적으로 정의된다는 의미이며, 이는 가환성 대신 교환법칙이 2‑동형을 통해 만족한다는 점에서 기존의 군 스택과 차별된다.

특히 (\mathcal{C}= \operatorname{QCoh}(X))인 경우, 저자는 (\mathrm{GL}(\operatorname{QCoh}(X)))를 “스키마 위의 가역적인 푸코흐 변환군”으로 구체화한다. 여기서 중요한 기술은 푸코흐 사상은 로컬하게 자유 모듈의 직접합과 텐서곱으로 표현될 수 있다는 사실을 이용해, 각 평탄 (T)-스키마 위에서 자동동형을 (\operatorname{Pic}(X_T))와 (\operatorname{Aut}(X_T))의 반직접곱으로 분해한다는 점이다. 즉, \