지역화와 공지역화 그리고 비가산 별 객체

본 논문은 두 범주 \(A\)와 \(B\) 사이에 존재하는 수반함수쌍 \(T\colon B\to A\)와 \(H\colon A\to B\) (\(T\dashv H\))를 출발점으로, adjunction의 단위 \(\delta\)와 코단위 \(\eta\)가 동형이 되는 객체들로 이루어진 전완전 서브카테고리들을 정의하고 그 성질을 체계적으로 분석한다. 1. **기본 정의와 성질** - \(S_H=\{X\in A\mid\delta_X\text{는 동형}\}\), \(S_T=\{Y\in B\mid\eta_Y\text{는 동형}\}\)를 각각 \(\delta\)-반사적, \(\eta\)-반사적 객체라 부른다. - \(C_H\)와 \(C_T\)는 각각 \(H\)-지역화와 \(H\)-공지역화 객체들의 전완전 서브카테고리이며, \(G_H\), \(G_T\)는 \(\delta\)가 에피, \(\eta\)가 모노인 객체들의 서브카테고리이다. 2. **주요 정리들** - **Lemma 2.1**: \(S_H\subseteq\operatorname{Im}T\subseteq C_H\)와 \(S_T\subseteq\operatorname{Im}H\subseteq C_T\)의 포함 관계를 제시한다. - **Lemma 2.3**와 **Theorem 2.5**: \(S_T=\operatorname{Im}H\)이면 \(S_H=C_H\)이며, 다섯 가지 조건( \(S_T=C_T\), \(S_T=\operatorname{Im}H\), \(S_H=C_H\), \(S_H=\operatorname{Im}T\), \(H,T\)가 \(C_H\)와 \(C_T\) 사이에 상호 역동등) 모두 동치임을 보인다. - **Corollary 2.6**: \(T\)가 완전 충실하면 \(C_H\)가 전체 \(A\)와 동등하고, 대칭적으로 \(H\)가 완전 충실하면 \(C_T\)가 전체 \(B\)와 동등한다. 3. **에피모픽 이미지와 균형 범주** - \(A\)와 \(B\)가 균형(balanced)이며 에피모픽 이미지를 가질 때, \(\delta\)와 \(\eta\)가 각각 에피·모노가 되는 경우를 다룬다. - **Proposition 2.8**: \(\operatorname{im}\delta_X\)는 \(G_H\)에 속하고, 이 함자 \(X\mapsto\operatorname{im}\delta_X\)는 \(G_H\hookrightarrow A\)의 오른쪽 수반함수가 된다. - **Corollary 2.9**: \(\operatorname{im}\delta_X\to X\)는 \(H\)-동등이며, 따라서 \(C_H\subseteq G_H\)이다. 4. **\(*\)-객체와 비가산 상황** - **Proposition 2.10**과 **Theorem 2.11**은 \(\delta\)가 모노이고 \(\eta\)가 에피인 경우에 \(C_H\)와 \(G_T\), 혹은 \(G_H\)와 \(G_T\)가 서로 역동등함을 보인다. 이는 비가산 \(*\)-모듈(또는 \(*\)-작용) 이론의 핵심 조건과 일치한다. 5. **대표성 동등과 셀룰러 근사** - Section 3에서는 작은 범주 \(E\)와 반변함자 범주 \(