구멍 뚫린 공간에서의 퀘이즈하이퍼볼록 구의 국소 볼록성 및 별형성
본 논문은 원점이 제거된 유클리드 공간 ℝⁿ\{0}에서 정의되는 퀘이즈하이퍼볼록 거리(k‑metric) 구 D(x,M)의 볼록성·별형성을 조사한다. 주요 결과는 반경 M≤1이면 구가 엄격히 볼록하고, M>1이면 볼록하지 않으며, M≤κ(≈2)이면 중심 x에 대해 엄격히 별형(starlike)이고 M>κ이면 별형이 아님을 보인다. 또한 φ‑uniform 영역에서의 일반적 경계와 국소 구조를 분석한다.
저자: Riku Klen
본 연구는 원점이 제거된 유클리드 공간 ℝⁿ\{0} (이하 punctured space)에서 정의되는 퀘이즈하이퍼볼록 거리 k_G 의 구 D_G(x,M)=\{z∈G: k_G(x,z)1이면 D_R²\{0}(z,M) 는 볼록하지 않다. 증명은 경계 곡선 x(φ)=e^{±√{M²−φ²}}(cos φ, sin φ) 의 접선 각 α(φ) 가 φ=0 근처에서 오목함을 보이며, 대칭성을 이용해 M>π/2 경우에도 즉시 비볼록성을 확인한다.
- **Corollary 3.4**: 동일한 비볼록성은 차원을 늘려도 유지된다. 3차원 이상에서는 임의의 비공선 y와 z를 선택해 2차원 평면에 제한함으로써 비볼록성을 전파한다.
- **Theorem 3.5** 및 **Corollary 3.10**: M∈(0,1]이면 구는 엄격히 볼록한다. 증명은 경계 위의 매개변수 s에 대해 접선 벡터 t(s) 가 영이 되지 않으며, 접선 각 α(s)=arctan(b(s)/a(s)) 가 단조 감소함을 보인다. Lemma 3.9는 2차원 결과를 n차원으로 확장하는 기하학적 논증을 제공한다.
4. **별형성(starlikeness) 결과**
- **Theorem 4.3**: M≤κ(≈2)이면 구는 중심 x에 대해 엄격히 별형이며, M>κ이면 별형성이 깨진다. 여기서 κ는 방정식
cos p + p sin p = e^{−1}, p∈
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