희소 일반화 고유값 문제를 위한 차분볼록 프로그래밍 접근법

논문은 먼저 희소 일반화 고유값 문제의 수학적 정의를 제시한다 일반화 고유값 문제는 A x = λ B x 로 표현되며, 여기서 A와 B는 대칭 양정치 행렬이다 희소성을 도입하려면 해 x 의 비영(非零) 원소 개수, 즉 카디널리티 ‖x‖₀ 를 제한해야 한다 전통적인 ℓ1 정규화는 ‖x‖₁ 을 최소화함으로써 희소성을 유도하지만, 이는 실제 카디널리티와는 불일치하고 큰 편향을 초래한다는 점에서 한계가 있다 이에 저자들은 카디널리티 제약을 직접 모델링하면서도 연속적이고 미분 가능한 근사함수 φ(t)=log(1+|t|/α) 를 도입한다 φ는 작은 값에서는 거의 선형, 큰 값에서는 로그 성장으로 억제되는 특성을 가져 ℓ0 에 가까운 근사 효과를 제공한다 이 함수를 이용해 원래 목적 함수를 f(x)=xᵀA x − λ xᵀB x + γ ∑φ(x_i) 로 재구성한다 여기서 첫 두 항은 볼록, 마지막 항은 차분볼록 형태로 분리된다 따라서 전체 문제는 차분볼록(d.c.) 프로그램으로 표현될 수 있다 차분볼록 프로그램을 해결하기 위해 저자들은 주요화‑최소화(MM) 프레임워크를 적용한다 MM 단계에서는 현재 해 x⁽ᵏ⁾ 에서 비볼록 부분 γ ∑φ(x_i) 를 1차 접선으로 상한화하여 g(x;x⁽ᵏ⁾)=γ ∑