상금 수집 TSP 근사 알고리즘 결합으로 1.91457‑근사 달성

본 논문은 상금 수집 여행 판매원 문제(Prize‑Collecting Traveling Salesman Problem, PC‑TSP)의 근사 알고리즘 설계에 새로운 관점을 제시한다. PC‑TSP는 정점 집합 V, 메트릭 비용 c, 시작점 r, 그리고 각 정점 v에 대한 벌금 π(v) 가 주어질 때, r 를 포함하는 사이클 T를 선택해 비용 c(T)와 선택되지 않은 정점에 대한 벌금 π(V\V(T))의 합을 최소화하는 문제이다. 1. **LP 완화와 기본 정의** 논문은 전통적인 선형계획(LP) 완화식을 도입한다. 변수 x_e (e∈E)는 각 간선이 투어에 포함될 정도를, y_v (v∈V) 는 정점이 투어에 포함될 정도를 나타낸다. 제약식은 (i) 모든 비시작 정점에 대해 입·출 차수가 2·y_v 로 맞춰지고, (ii) 임의의 부분집합 S에 대해 경계선의 합이 2·y_v (v∈S) 이상이며, (iii) y_r = 1 로 시작점을 반드시 포함한다. 목적함수는 c·x + π·(1‑y) 로, 이는 투어 비용과 벌금의 가중합을 동시에 최소화한다. 최적값을 LP 로 표기한다. 2. **Bienstock 등 라운딩 알고리즘 (Proposition 1)** Bienstock, Goemans, Simchi‑Levi, Williamson(1993)은 LP 최적해 (x*, y*) 를 이용해 γ‑threshold 방법을 제시한다. 임계값 γ∈(0,1] 를 정하고, y*_v ≥ γ 인 정점들을 모아 집합 S(γ) 를 만든다. Christofides 알고리즘을 S(γ) 에 적용해 사이클 T_γ 를 얻는다. 이때 비용 상한은 c(T_γ) ≤ (3/(2γ))·c(x*) 이다. γ = 3/5 로 고정하면 전체 비용이 (5/2)·LP 이하가 되며, 이는 2.5‑근사 알고리즘을 의미한다. 그러나 γ 를 연속적으로 변화시켜 최적값을 찾으면 더 나은 상수를 얻을 수 있다. 3. **Goemans‑Williamson 프라임‑듀얼 알고리즘 (Proposition 2)** Goemans와 Williamson(1995)의 프라임‑듀얼 기법은 동일한 LP 를 이용해 사이클 T와 듀얼 해를 동시에 구성한다. 원 논문에서는 비용과 벌금 모두에 대해 2‑근사를 보였지만, Chudak, Roughgarden, Williamson(2004)은 벌금 항에 대해 더 강한 상한을 얻을 수 있음을 관찰한다. 구체적으로, (1)에서 제시된 듀얼 해를 이용하면 c(T) + (2‑1/(n‑1))·π(V\V(T)) ≤ (2‑1/(n‑1))·LP 가 성립한다. 논문은 이 결과를 이용해 벌금을 π′(v) = (½‑1/(n‑1))·π(v) 로 스케일 다운한 인스턴스에 프라임‑듀얼 알고리즘을 적용한다. 그러면 얻어지는 사이클 T_pd 는 c(T_pd) + π(V\V(T_pd)) ≤ 2·c(x*) + π(1‑y*) 를 만족한다. 즉, 프라임‑듀얼 방법은 비용 측면에서는 2‑근사이지만, 벌금 항에 대해선 실제 LP 값보다 더 가깝게 만든다. 4. **알고리즘 결합 및 기대값 분석 (Theorem 3)** 두 알고리즘을 결합하기 위해 γ 를 구간