오차‑변수 모델 일반화 함수 접근법

초록

본 논문은 Schennach(2007)의 일반화 함수 기반 식별 결과를 확장한다. 비모수적 식별을 위해 기존보다 약한 가정을 제시하고, 일반화 함수의 일반적인 분해에 의존하지 않는 새로운 증명을 제공한다. 또한 절대적 적분 가능 함수 공간에서 일관적인 비모수 플러그인 추정기를 구축한다. 반면, 반모수 식별은 유한 개의 모멘트를 이용해 특정 함수 클래스에 대해 성립함을 보이며, 측정오차의 모멘트생성함수 존재 가정을 필요로 하지 않는다.

상세 분석

이 연구는 오류‑변수 회귀 모델의 식별 문제를 일반화 함수(분포) 이론을 활용해 재조명한다. Schennach(2007)에서는 일반화 함수를 ‘정규 부분’과 ‘특이 부분’으로 분해한 뒤, 이 두 부분이 각각 식별에 기여한다는 논리를 전개했지만, 실제 분석에서는 이러한 분해가 항상 존재하지 않을 수 있다는 한계가 있다. 본 논문은 그 한계를 극복하기 위해 분해 없이도 일반화 함수 자체의 연속성 및 Fourier 변환 성질을 이용해 식별을 증명한다. 구체적으로, 관측된 변수 (Y)와 측정오차 (U)의 합성 구조를 (\phi_Y(t)=\phi_X(t)\phi_U(t)) 형태로 표현하고, (\phi_U(t))가 0이 아닌 구간을 충분히 확보하는 약한 비가산성 가정을 도입한다. 이때 (\phi_X(t))는 측정오차와 독립적인 원본 변수의 특성함수이며, 일반화 함수 공간 (\mathcal{S}’)에서 연속적인 선형 연산자로 취급된다.

비모수 식별 정리는 두 단계로 구성된다. 첫째, 관측된 데이터의 특성함수 (\phi_Y(t))와 측정오차의 특성함수 (\phi_U(t))를 이용해 (\phi_X(t)=\phi_Y(t)/\phi_U(t))를 정의하고, 이 비율이 (\mathcal{S}’)에 속함을 보인다. 둘째, 역Fourier 변환을 적용해 원본 회귀 함수 (g(\cdot))를 복원한다. 여기서 핵심은 (\phi_U(t))가 영점(zero)을 갖지 않는 구간이 충분히 넓어야 하며, 이는 기존 연구가 요구한 전체 실수축에 대한 모멘트생성함수 존재 조건보다 훨씬 완화된 가정이다.

반모수 식별 부분에서는 특정 형태의 회귀 함수 (g(x;\theta))를 가정하고, 제한된 수의 모멘트 조건 (\mathbb{E}