기하학적 및 용량 제한 집합 커버 문제에 대한 정확·근사 알고리즘과 응용

초록

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본 논문은 방향성 안테나 배치와 마감기한이 있는 배송 문제를 모델링한 기하학적 집합 커버의 다항식 시간 정확 해법을 제시한다. 또한, 실수 가중치를 가진 원소와 용량 제한이 있는 일반 집합 커버 문제에 대해, 기존 비용‑비근사 알고리즘을 r + 1.357 비율로 변환하는 일반 변환기를 설계한다. 이를 통해 가변 각도와 고정 용량을 가진 안테나 최소 배치 문제에 2.357‑근사 알고리즘을 얻으며, 선형 구간·호 형태의 집합에 대해 고정된 집합 수 하에서 최대 부하를 최소화하는 PTAS도 제공한다.

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상세 분석

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논문은 크게 두 파트로 나뉜다. 첫 번째 파트에서는 방향성 안테나 배치와 마감기한이 있는 물류 시스템을 기하학적 집합 커버 문제로 변환한다. 여기서 각 안테나는 특정 각도와 반경을 갖는 원형 섹터 형태이며, 고객 위치는 평면상의 점으로 표현된다. 저자들은 이러한 섹터가 서로 겹치지 않도록 하는 조건과, 각 안테나가 동시에 수용할 수 있는 고객 수(용량) 제한을 동시에 만족시키는 경우에 대해, 문제를 이분 매칭과 선형 계획법을 결합한 다항식 시간 알고리즘으로 정확히 해결한다. 이때 핵심 아이디어는 섹터의 각도와 반경을 정렬한 뒤, 가능한 최소 안테나 수를 구하기 위해 “가장 왼쪽에 아직 커버되지 않은 점을 포함하는 최소 각도 섹터”를 반복 선택하는 그리디 전략이 최적임을 증명한 것이다.

두 번째 파트에서는 일반적인 용량 제한 집합 커버(Capacitated Set Cover, CSC) 문제를 다룬다. 입력은 실수 가중치 w(e)∈