노이즈와 지연을 포함한 결합 조화진동기의 동기화

초록

본 논문은 가중치가 백색 잡음으로 변동하고, 상호작용에 일정 시간 지연이 존재하는 방향성 그래프 상의 2차 선형 조화진동기들을 연구한다. 확률 미분 지연 방정식의 안정성 이론과 대수 그래프 이론을 결합해, 이러한 시스템이 거의 확실히 동기화됨을 수학적으로 증명하고, 수치 시뮬레이션으로 검증한다.

상세 분석

본 연구는 먼저 각 진동기를 2차 선형 미분방정식 형태인 (\ddot x_i(t)+\omega^2 x_i(t)=u_i(t)) 로 모델링하고, 인접 행렬 (A) 로 표현되는 네트워크 상호작용을 도입한다. 여기서 (A) 의 원소는 평균값 (\bar a_{ij}) 와 백색 잡음 (\sigma_{ij}\dot W_{ij}(t)) 로 구성된 확률 과정으로, 실제 연결 강도가 시간에 따라 무작위로 변동한다는 점을 반영한다. 또한, 물리적 전파 지연을 고려해 제어 입력 (u_i(t)) 에는 지연 (\tau) 가 포함되어 (\displaystyle u_i(t)=\sum_{j}a_{ij}(x_j(t-\tau)-x_i(t-\tau))) 로 정의한다.

시스템을 전체 상태 벡터 (X(t)=