2차원 제약 용량의 새로운 상한: 볼록 최적화 접근법

본 논문은 2‑차원(2‑D) 제약 시스템의 용량(capacity)을 상한으로 추정하는 새로운 방법을 제시한다. 1‑차원 제약의 경우, 용량은 정지(maxentropic) 마코프 체인의 엔트로피를 최대화하는 문제와 동등함이 알려져 있다. 저자들은 이 개념을 2‑D로 확장하고, 정사각형 블록 위에 정의된 정지 확률 변수 W(M)를 도입한다. **1. 기본 정의와 기존 방법** - Σ는 유한 알파벳, S는 2‑D 제약 집합이며, S_{M,N}=S∩Σ^{M×N} 로 정의한다. - 용량은 cap(S)=lim_{M→∞} (1/M²)·log₂|S_{M}| 로 정의된다. - 기존 상한 계산 방법으로는 (i) 스트라이프 방법(폭 N 고정 후 1‑D 제약으로 변환)과 (ii) Forchhammer‑Justesen 방식(정지 마코프 체인 엔트로피 최적화)이 있다. **2. 정지 확률 변수와 패치** Theorem 1에 의해, 정지성을 만족하는 일련의 확률 변수 W(M) 가 존재하며, (1/M²)·H(W(M)) → cap(S) 가 된다. 여기서 H는 엔트로피이다. 다음으로, 작은 패치 Λ = B_{r,s} (r×s 블록)를 선택하고, X(M)=W(M)