NVALUE 제약조건 분해와 경계 일관성 유지

초록

본 논문은 전역 제약조건 NVALUE을 여러 형태로 분해한 뒤, 특정 분해가 원래 제약조건의 경계 일관성(BC)을 완전히 보존한다는 것을 증명한다. 단순 0/1 변수 기반 분해는 전파력을 약화시키지만, AT_MOST NVALUE·AT_LEAST NVALUE으로 나눈 뒤, 피라미드 구조의 보조 변수와 암시적 제약을 도입한 복합 분해는 BC와 심지어 범위 일관성(RC)까지 효율적으로 달성한다. 또한, 제안된 분해는 SAT·IP 솔버가 전역 제약의 강력한 추론을 활용하도록 돕고, 학습 기반 절단(no‑good) 및 임팩트 기반 분기 전략에도 활용 가능함을 논한다.

상세 분석

NVALUE 제약조건은 변수 집합 X₁…Xₙ 가 사용하는 서로 다른 값의 개수를 변수 N 에 연결한다. 기존 연구에서는 도메인 일관성(DC)이 NP‑hard임을 보였으며, 경계 일관성(BC)만이 다항 시간에 달성될 수 있다. 논문은 먼저 가장 직관적인 0/1 변수 도입(식 (1)–(3))을 검토한다. 이 단순 분해는 BC 수준에서는 원래 NVALUE보다 약한 전파력을 보이며, 실제로 N=1인 경우 BC가 해제되지 않아 불필요한 탐색 공간이 남는다(정리 1).

이를 극복하기 위해 저자들은 NVALUE을 두 개의 보조 제약인 AT_MOST NVALUE(값의 개수가 N 이하)와 AT_LEAST NVALUE(값의 개수가 N 이상)으로 분해한다. 이 분해는 값의 최소·최대 개수를 각각 card↓(X) 와 card↑(X) 로 정의하고, N의 도메인이