D0L 시스템 성장 함수의 점근적 거동

초록

본 논문은 D0L‑시스템(알파벳 A, 전단사 σ, 초기단어 w)에서 생성되는 길이 함수 |σⁿ(w)| 가 n→∞ 일 때 n^α βⁿ 형태로 근사됨을 직접적이고 초등적인 방법으로 증명한다. 여기서 α는 0 이상 |A|−1 이하의 정수, β≥1은 실수이다. 기존의 복잡한 유리 멱급수 이론을 사용하지 않고, 행렬 노름과 조던 표준형을 이용해 성장률을 분석한다.

상세 분석

논문은 먼저 D0L‑시스템을 “축소된” 형태로 가정한다. 즉, 알파벳 A의 모든 기호 a가 어느 단계에서든 초기단어 w에 등장한다는 전제 하에, 각 기호 a에 대한 이미지 길이 |σⁿ(a)| 를 합산한 값 Sₙ = Σ_{a∈A}|σⁿ(a)| 가 |σⁿ(w)| 와 Θ(·) 관계임을 보인다(Lemma 2). 이때 Sₙ 은 d×d 행렬 M (d=|A|) 의 1‑노름 ‖Mⁿ‖₁ 과 동일함을 식 (2) 로 나타낸다. 여기서 M_{ij}=|σ(a_j)|{a_i} 로 정의되며, Mⁿ{ij}=|σⁿ(a_j)|_{a_i} 가 된다. 따라서 성장 함수의 점근적 형태는 행렬 거듭제곱의 노름 성장과 일치한다.

핵심은 “비영(非零) 행렬 M 에 대해 ‖Mⁿ‖ ≍ n^α βⁿ” 를 증명하는 부분이다. 이를 위해 저자는 임의의 복소수 행렬에 대해 조던 표준형으로 대각화(또는 준대각화)하고, 행렬을 P⁻¹MP = D+N 형태로 분해한다. 여기서 D는 대각 행렬, N은 멱제로(N^k=0, k≥d)인 nilpotent 행렬이다. ‖Mⁿ‖ 은 ‖P⁻¹MP‖ 의 최대 원소 절댓값과 동등하므로, 각 원소는 다항식 f_{ij}(n)·λ_i^n 형태가 된다. λ_i 는 D의 고유값이며, f_{ij} 의 차수는 ≤d−1이다. 사전순으로 (|λ_i|,deg f_{ij}) 를 최대화한 (β,α)를 선택하면, ‖Mⁿ‖·n^{−α}β^{−n} 은 양의 유한 상수로 수렴한다(Prop 1).

정규화된 노름 사이의 동등성(Theorem 4)을 이용해, 어떤 노름을 사용하든 동일한 점근적 형태가 유지됨을 보인다(Corollary 1). 따라서 행렬 M 의 스펙트럼 반경 β와 가장 큰 조던 블록 크 α가 바로 성장 함수의 지수와 다항식 차수를 결정한다.

이와 별도로, 저자는 기존의 강력한 결과(Theorem 2, Salomaa‑Soittola)와는 달리 주기성을 고려하지 않고 전체 성장률만을 다룬다. 주기적 성분이 필요할 경우, 기존 문헌의 정리(예: Theorem 3)와 결합하면 n을 q‑간격으로 나눠 같은 형태의 수렴을 얻을 수 있다.

마지막으로, 예시 행렬 M=