행렬 토션 문제를 위한 간단하고 효율적인 다항시간 알고리즘

본 논문은 유리수 원소를 갖는 정방 행렬 \(M\) 에 대해 두 서로 다른 거듭제곱이 동일한지를 판정하는 행렬 토션 문제(Matrix Torsion Problem, MTP)를 다루며, 이를 기존에 복잡한 행렬 거듭제곱 문제(Matrix Power Problem, MPP)로 환원해 해결하는 대신, 직접적인 다항시간 알고리즘을 제시한다. 1. **문제 정의와 기존 결과** MTP는 다음과 같이 정의된다. (i) \(p\neq q\) 인 자연수 \(p,q\) 가 존재해 \(M^{p}=M^{q}\) 가 되면 토션이다. (ii) \( \{M, M^{2}, M^{3},\dots\}\) 의 원소 수가 유한하면 토션이다. (iii) 거듭제곱 수열이 결국 주기성을 갖는 경우도 토션이다. Cassaigne와 저자는 MTP를 MPP에 다항시간으로 환원할 수 있음을 보였으며, Kannan‑Lipton이 제시한 MPP 알고리즘이 다항시간임을 이용해 MTP도 결정 가능함을 확인했다. 그러나 MPP 알고리즘은 복잡한 선형 대수와 정수 행렬의 궤도 문제를 다루어 구현이 어려웠다. 2. **새로운 접근법의 핵심 아이디어** 저자는 행렬 \(M\) 의 최소 다항식 \(\mu(z)\) 을 이용한다. \(\mu(z)\)는 \(M\) 를 소거하는 가장 차수가 낮은 다항식이며, \(\mu(z)\)가 \(z^{k}\prod_{j\in J}\gamma_{j}(z)\) 형태임을 보인다. 여기서 \(\gamma_{j}(z)\)는 \(j\)번째 사이클로토믹 다항식이며, 이는 원시 \(j\)번째 단위근들의 최소 다항식이다. 사이클로토믹 다항식은 정수계수이며, 차수는 오일러 토션트 함수 \(\phi(j)\)와 정확히 일치한다. 3. **오일러 토션트 함수의 하한** 핵심은 \(\phi(j)\ge p\,j/2\) (여기서 \(p\)는 2)라는 하한이다. 이 사실은 \(\phi(j)\)가 \(j\) 의 제곱근 수준 이상임을 보이며, 특히 \(j\)가 짝수이면서 4로 나누어지지 않을 때도 동일하게 적용된다. 이를 통해 차원 \(d\) 인 행렬에 대해 \(n=2d^{2}\) 를 선택하면, \(\max J\le n\)이며 \(\deg\mu(z)\le d\)가 보장된다. 4. **다항식 \(\pi_{n}(z)\) 와 토션 판정** \