정규분포에서 상관계수 통계량들의 비대칭 효율성 단조성

초록

이 논문은 이변량 정규분포에서 Pearson, Spearman, Kendall 세 상관계수 통계량의 점근적 상대 효율성(ARE)이 모집단 상관계수 ρ에 대해 단조적으로 변한다는 사실을 증명한다. 증명은 L’Hospital‑type 단조성 규칙을 활용한 새로운 접근법을 제시한다.

상세 분석

본 연구는 이변량 정규모형에서 가장 널리 쓰이는 세 가지 상관계수 통계량—Pearson의 r, Spearman의 ρ_s, Kendall의 τ—의 점근적 상대 효율성(Asymptotic Relative Efficiency, 이하 ARE)의 ρ‑함수 형태를 분석한다. 먼저 각 통계량에 대한 점근적 분산을 기존 문헌에서 알려진 식으로 정리한다. Pearson r의 경우, 중앙극한정리에 따라 √n(r−ρ) → N(0,(1−ρ²)²) 이므로 분산은 (1−ρ²)²이다. Spearman ρ_s와 Kendall τ는 각각 순위 기반 비모수 통계량이므로, 정규성 가정 하에 그들의 점근적 분산은 복잡한 적분 형태로 표현되지만, ρ에 대한 명시적 함수로 전개할 수 있다. 특히, ρ_s의 점근적 분산은 (1−ρ²)·(π²/6−arcsin²ρ) 로, τ의 경우는 (2/9)(1−ρ²)·(1−(2/π)arcsinρ) 로 나타난다.

이러한 분산식을 이용해 두 통계량 사이의 ARE를 정의한다. 예를 들어, ARE(Pearson,Spearman)=Var(Spearman)/Var(Pearson) 로 정의하면, ρ에 대한 식은
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