비엔미스 변환을 이용한 차수 감소와 백란크 변환 구축

초록

비엔미스 변환을 적용해 비선형 물리 방정식의 차수를 낮추고, RF‑쌍과 백란크 변환을 구성함으로써 Burgers, KdV, Harry Dym 등 다양한 적분가능 방정식의 새로운 해와 새로운 적분가능 모델을 도출하였다.

상세 분석

본 논문은 비엔미스 변환을 일반적인 비선형 편미분방정식에 적용하는 새로운 체계를 제시한다. 전통적으로 비엔미스 변환은 유체역학에서 속도와 위치를 교환하는 기법으로 알려져 있으나, 저자들은 미지함수를 새로운 독립변수로, 그에 대한 특정 편미분을 새로운 종속변수로 선택함으로써 방정식의 차수를 일 단계 낮출 수 있음을 증명한다. 핵심 아이디어는 u(x,t)를 기존의 종속변수라 할 때, 새로운 독립변수 η=u, 새로운 종속변수 v=∂u/∂x(또는 ∂u/∂t) 로 정의하는 것이다. 이 변환을 적용하면 원래의 고차 비선형 방정식이 1차 혹은 2차 선형 혹은 반선형 방정식으로 변환되어 해석이 크게 용이해진다. 특히, 일반 형태의 진화방정식 u_t=F(u, u_x, u_{xx}, …)에 대해 변환 후 얻어지는 식은 v_t=∂_η