P와 NP의 차이를 증명한다는 주장, 그러나 증명은 허구

초록

이 논문은 SAT 문제가 P에 속하지 않으며, 따라서 P≠NP임을 “단일 공리 B”와 그 확장 B′, B″를 이용해 증명했다고 주장한다. 그러나 제시된 공리 체계와 증명 과정은 형식적으로는 일관성을 주장하지만, 실제로는 기존 복잡도 이론과 충돌하고, 증명 단계가 불완전하거나 잘못된 추론을 포함한다.

상세 분석

논문은 먼저 “첫 번째 차수 이론 B”라는 형식 체계를 정의하고, 여기서 유일한 유한 공리 B가 보편 튜링 기계를 기술한다고 가정한다. B의 언어는 두 개의 술어 T(i,a,u)와 U(x,s,z,q,j,i,u)와 하나의 함수 기호 ‘.’ 로 구성된다. 저자는 이 체계 안에서 튜링 기계의 움직임 수를 증명의 길이와 동일시하고, 이를 통해 계산 복잡도와 논리 증명 복잡도 사이의 직접적인 대응 관계를 주장한다. 핵심은 “SAT ∈ P이면 어떤 결정적 튜링 기계가 다항 시간 내에 모든 부정된 논리식 ¬F의 만족 가능성을 판단한다”는 가정이다. 이 가정 하에, 논문은 증명(1)–(2)에서 얻은 형식적 증명 길이 n이 입력 크기 |F|의 다항식 p(F) 이하가 된다고 주장한다. 그러나 여기서 사용된 “충분히 큰 논리식”에 대한 정의가 모호하고, 실제로 알려진 피전홀 원리(PHP)와 같은 공식은 해상도 시스템에서 다항식 크기의 증명을 갖지 못한다는 Haken·Razborov 결과와 직접 충돌한다. 논문은 이를 “모순”이라며 SAT ∉ P를 도출하지만, 모순 자체가 가정(3) “SAT ∈ P”가 잘못된 전제에 기반한 것이므로, 귀류법이 아니라 가정 자체를 부정하는 순환 논증에 불과하다. 또한, B′와 B″가 “단순 일관성(simple consistency)”을 갖는다고 주장하지만, B가 자체적으로 “B의 일관성은 B 안에서 증명될 수 없다”는 고전적인 고데르 정리와 동일한 메타수학적 한계를 무시한다. 결국 논문은 다음과 같은 주요 결함을 가진다. 1) 공리 B가 실제로 보편 튜링 기계를 완전히 기술한다는 증명이 없으며, 기계의 무한 테이프와 유한 테이프 모델 사이의 차이를 간과한다. 2) 계산 시간과 증명 길이 사이의 일대일 대응을 강제하는 논리는 해상도 증명 복잡도 이론과 상충한다. 3) “단순 일관성”이라는 개념을 사용해 메타수학적 불가능성을 회피하려 하지만, 이는 형식 체계 내부에서 증명될 수 없는 성질을 외부에서 가정하는 것과 같다. 4) 최종적으로 Cook‑Levin 정리를 “SAT ∉ P ⇒ P≠NP”의 근거로 삼는 것은 이미 알려진 사실을 재진술하는 수준에 머물며, 새로운 증명 기여가 전혀 없다. 따라서 이 논문은 형식적 장식은 풍부하지만, 핵심 논리와 수학적 엄밀성에서 심각한 결함을 가지고 있다.