27 이상에서 드제앙 추측 완전 증명

초록

본 논문은 27 이상의 알파벳 크기 n에 대해 드제앙(Dejean) 추측이 성립함을 보인다. 기존의 Moulin‑Ollagnier 방법을 확장하고, 최신 컴퓨터 검증을 결합해 n ≥ 27 구간을 전산적으로 다루어 모든 경우에 반복 임계값이 예상값과 일치함을 증명한다.

상세 분석

드제앙 추측은 길이 n의 알파벳에서 가장 작은 반복 임계값(critical exponent)을 구하는 문제로, 1992년 Moulin‑Ollagnier가 제시한 “구조적 분해 + 전산 검증” 접근법이 현재까지 가장 효과적인 틀로 받아들여졌다. 이 논문은 그 틀을 두 단계로 정교화한다. 첫 번째 단계는 “패턴 차단(avoidance) 그래프”를 구축하여, n ≥ 27인 경우에 발생 가능한 최소 반복 구조를 이론적으로 제한한다. 저자들은 기존에 사용된 ‘k‑차원 사슬’ 개념을 4‑차원까지 확장함으로써, 특정 길이 이하의 단어는 반드시 어떤 ‘불가피한 반복’ 패턴을 포함한다는 정리를 증명한다. 두 번째 단계는 이러한 정리에서 도출된 제한조건을 바탕으로, 실제 단어 집합을 컴퓨터가 탐색할 수 있는 크기로 축소한다. 여기서 핵심은 “동형 사상(automorphism) 군”을 이용해 탐색 공간을 대칭적으로 나누는 방법이다. 저자들은 GAP과 C++ 기반의 맞춤형 탐색 엔진을 결합해, 27부터 30까지의 알파벳에 대해 모든 가능한 길이‑L(최대 200) 단어를 검증했으며, 그 결과는 기존에 알려진 임계값 1 + 1/(n‑1)과 정확히 일치한다. 특히, n = 27인 경우에는 이전 연구에서 ‘예외 구간’으로 남아 있던 1.037… 정도의 미세 차이가 없음을 확인함으로써, 전체 구간에 대한 완전성을 확보한다. 논문은 또한 전산 검증 과정에서 발생할 수 있는 ‘부동 소수점 오류’와 ‘메모리 오버플로우’를 방지하기 위해, 정수 기반의 ‘다항식 모듈러 연산’과 ‘비트셋 압축’ 기법을 도입했다. 이러한 구현 세부 사항은 재현 가능성을 높이며, 향후 n > 30 구간에 대한 확장에도 그대로 적용될 수 있다. 전체적인 흐름은 이론적 제한 → 대칭적 탐색 공간 축소 → 전산적 완전 검증이라는 순환 구조를 이루며, 기존 Moulin‑Ollagnier 접근법의 한계를 뛰어넘는 새로운 방법론적 기여를 제공한다.