하이퍼볼릭 평면 셀룰러 오토마톤 전역 함수의 일대성 판정은 불가능

** 본 논문은 하이퍼볼릭 평면 위에 정의된 셀룰러 오토마톤(CA)의 전역 전이 함수가 일대성인지 여부를 결정하는 알고리즘이 존재하지 않음을 증명한다. 연구는 두 가지 주요 하이퍼볼릭 테셀레이션, 즉 펜타그리드와 삼중 7각격자를 기반으로 진행된다. 각 테셀레이션은 중심 셀과 α(α=5 또는 7)개의 기본 섹터로 구성되며, 각 섹터는 피보나치 트리 구조를 통해 무한히 확장된다. 이러한 구조를 Fα라 정의하고, CA의 상태 집합 Q와 결합해 가능한 전역 구성 Q^{Fα}를 만든다. 로컬 전이 함수 f_A가 주어지면 전역 전이 함수 G_A는 모든 셀 x∈Fα에 대해 G_A(c)(x)=f_A(c(x))로 정의된다. 논문의 핵심 아이디어는 G_A의 일대성 판정 문제를 튜링 기계의 정지 문제와 동등하게 만드는 귀납적 타일링 및 신호 전파 구조를 설계하는 것이다. 이를 위해 저자는 이전 연구에서 제시된 ‘인터위븐 삼각형(interwoven triangles)’과 이를 기반으로 만든 ‘마우브 삼각형(mauve triangles)’을 활용한다. 인터위븐 삼각형은 빨강·파랑·초록 신호를 이용해 하이퍼볼릭 평면에 계층적 삼각형 구조를 만든다. 마우브 삼각형은 각 빨강 삼각형의 꼭짓점을 기준으로 그 다리를 연장해 생성되며, 세대(generation) 개념을 도입해 서로 겹치거나 포함되는 복잡한 관계를 형성한다. 마우브 삼각형은 세대 n+1에서 세대 n의 다섯 개 기본 위도(L_{-1}…L_3)와 교차한다. Lemma 1은 이 교차 관계를 정밀히 기술한다. 특히, T라는 세대 n+1의 마우브 삼각형은 그 다리가 다른 마우브 삼각형의 기반(basis)을 LP(leg point)에서 자르는 구조를 가진다. 또한, 각 삼각형은 ‘랭크(rank)’가 0~3 사이에서 주기적으로 반복되며, 이는 신호가 정확히 원하는 삼각형의 LP를 찾아내는 데 사용된다. 신호 전파는 갈색(brown), 보라색(purple), 주황색(orange) 등 여러 색상의 가상의 신호를 이용한다. 갈색 신호는 삼각형의 꼭짓점에서 시작해 다른 꼭짓점으로 이동하며, 중간에 나타나는 ‘LP’를 탐지한다. 보라색 신호는 갈색 신호가 찾은 LP를 따라 같은 위도에 있는 다른 마우브 삼각형을 순회한다. 이러한 신호 체계는 각 세대의 마우브 삼각형을 정확히 식별하고, 그 LP를 기준으로 새로운 신호를 방출해 전체 평면을 일종의 ‘경로(path)’로 채우는 데 사용된다. 이 경로는 매 단계마다 유효한 타일링을 구성하면서도, 특정 ‘예외’ 상황—즉, 튜링 기계가 멈추는 경우—에만 구조적 변형을 일으킨다. 예외가 발생하면 경로가 특정 마우브 삼각형을 통과하지 못하고, 그 결과 전역 함수 G_A가 비일대성(non‑injective)임을 보장한다. 반대로 예외가 없으면 경로가 완전하게 평면을 커버하므로 G_A는 일대성을 유지한다. 따라서 G_A의 일대성 여부는 입력된 튜링 기계가 멈추는지 여부와 정확히 일치한다. 이와 같은 귀납적 구성은 하이퍼볼릭 평면에서의 셀룰러 오토마톤 일대성 판정 문제가 튜링 기계 정지 문제에 귀환될 수 있음을 보여준다. 정지 문제는 결정 불가능하므로, 전역 함수의 일대성 판정 역시 결정 불가능함을 증명한다. 논문은 특히 삼중 7각격자에서 이 구성을 완전하게 구현했으며, 펜타그리드에서는 아직 완전한 구현이 어려운 점을 언급한다. 최종적으로, “The injectivity of the global function of a cellular automaton on the ternary heptagrid is undecidable”라는 정리를 제시한다. **