샤프 커널 클러스터링 알고리즘과 그에 따른 그로테니크 부등식

초록

이 논문은 양의 준정부호 행렬 A와 작은 차원의 양의 준정부호 행렬 B가 주어졌을 때, A의 인덱스를 k 개의 군집으로 나누어 ∑{i,j} b{ij}·∑{(p,q)∈S_i×S_j}a{pq} 를 최대화하는 문제를 다룬다. 저자들은 B에만 의존하는 두 기하학적 파라미터 R(B) (점들의 최소 외접구 반경)와 C(B) (가우시안 순간을 이용한 최적 파티션값)를 이용해 R(B)^2 / C(B) 의 근사비를 갖는 다항시간 알고리즘을 설계하고, 이 비율을 (1‑ε) 수준으로 개선하는 것이 Unique Games 가설 하에서 NP‑hard임을 증명한다.

상세 분석

본 논문은 커널 클러스터링이라는 일반화된 군집화 문제를 수학적으로 정형화하고, 이를 기존의 Grothendieck 부등식과 연결함으로써 새로운 근사 알고리즘을 제시한다. 문제 정의는 두 개의 대칭 양의 준정부호 행렬 A∈ℝ^{n×n}와 B∈ℝ^{k×k}를 입력으로 받아, A의 인덱스 집합 {1,…,n}을 k개의 파트 S_1,…,S_k 로 분할할 때 목적 함수
 F(S_1,…,S_k)=∑{i=1}^k∑{j=1}^k b_{ij}·∑{(p,q)∈S_i×S_j} a{pq}
를 최대화한다. A는 “커널” 역할을 하며, 행합이 0인 제약(∑{i,j}a{ij}=0)으로 인해 평균이 0인 고차원 데이터의 내적 구조를 반영한다. B는 군집 간 상호작용을 정의하는 작은 차원의 Gram 행렬로, B=V V^⊤ 로 표현될 때 각 v_i∈ℝ^k 가 B의 기하학적 특성을 결정한다.

핵심 기여는 두 파라미터 R(B)와 C(B)를 도입한 점이다. R(B)는 점 집합 {v_1,…,v_k} 를 포함하는 최소 구의 반경으로, B가 정의하는 벡터들의 공간적 퍼짐을 측정한다. C(B)는 (k‑1)‑차원 유클리드 공간을 가우시안 측도 하에 k개의 가측 집합 {A_1,…,A_k} 로 분할했을 때, 각 집합의 “가우시안 순간” z_i=E