분수 요인 설계 생성 방법

초록

본 논문은 카운팅 함수, 힐베르트 기저, 마코프 기저를 결합해 주어진 직교성 제약을 만족하는 모든 분수 요인 설계를 체계적으로 생성하는 절차를 제시한다. 수준 수에 제한이 없는 혼합 수준 설계와 정규 직교 배열을 포함한 다양한 사례에 적용 가능함을 실험을 통해 입증한다.

상세 분석

이 연구는 전통적인 분수 요인 설계 생성 방법이 소수 혹은 소수의 거듭제곱 수준에만 적용되는 한계를 극복하고자 한다. 핵심 아이디어는 설계의 인덱스 행렬을 다항식 형태의 카운팅 함수로 표현하고, 이 함수가 만족해야 할 직교성 제약을 선형 방정식 집합으로 전환하는 것이다. 이렇게 얻어진 방정식 시스템은 정수 해를 필요로 하며, 정수 해의 전체 집합을 구하기 위해 힐베르트 기저(Hilbert basis)를 활용한다. 힐베르트 기저는 주어진 정수 격자 내에서 최소 생성원들을 제공함으로써, 모든 가능한 해를 비재귀적으로 열거할 수 있게 한다.

하지만 힐베르트 기저만으로는 해의 연결 구조를 파악하기 어렵다. 여기서 마코프 기저(Markov basis)가 도입된다. 마코프 기저는 두 해 사이를 이동시키는 기본 이동(또는 ‘마코프 이동’)을 정의하며, 이 이동들을 반복 적용함으로써 전체 해 공간을 하나의 연결 그래프로 탐색한다. 따라서 설계 생성 과정은 (1) 카운팅 함수를 통한 제약식 도출, (2) 힐베르트 기저를 이용한 초기 해 집합 확보, (3) 마코프 기저를 통한 해 공간의 완전 탐색이라는 세 단계로 구성된다.

혼합 수준 설계에 대한 일반화는 특히 주목할 만하다. 기존 방법은 각 요인의 수준 수가 소수 혹은 소수의 거듭제곱일 때만 이론적 보장을 제공했지만, 본 논문은 수준 수에 대한 어떠한 제한도 두지 않는다. 이를 위해 설계 행렬을 다변량 다항식 환경으로 확장하고, 각 수준을 서로 다른 변수의 지수로 매핑함으로써 일반적인 정수 선형 모델을 구성한다. 이렇게 하면 서로 다른 수준을 가진 요인들 간에도 동일한 힐베르트·마코프 기저 계산 절차를 적용할 수 있다.

실험에서는 (i) 2^k 완전 요인 설계의 부분집합, (ii) 3^k·2^m 혼합 수준 설계, (iii) 정규 직교 배열(OA) 등 세 가지 대표적인 클래스에 대해 알고리즘을 실행하였다. 결과는 기존에 알려진 설계와 동일하거나, 새로운 비표준 설계들을 발견했으며, 특히 고차원·고수준 혼합 설계에서 탐색 효율이 크게 향상된 것을 확인했다. 계산 복잡도는 힐베르트 기저 생성 단계에서 급격히 증가하지만, 최신 정수 프로그래밍 라이브러리와 병렬화 기법을 적용하면 실용적인 시간 내에 수천 개의 설계를 도출할 수 있다.

이 논문의 기여는 이론적 토대와 구현 가능성을 동시에 제공한다는 점이다. 카운팅 함수·힐베르트·마코프라는 세 가지 수학적 도구를 결합함으로써, 설계자가 원하는 직교성, 균형성, 차수 제한 등을 제약식으로 명시하고, 그 제약을 만족하는 모든 가능한 분수 설계를 자동으로 생성할 수 있다. 이는 실험 설계 단계에서 설계 후보군을 폭넓게 탐색하고, 최적의 비용·효율 균형을 찾는 데 큰 도움이 될 것으로 기대된다.