오메가‑카테고리의 포크 모델 구조

본 논문은 엄격한 ω‑카테고리(ω‑Cat)의 전반적인 호몰로지 이론을 구축하기 위해, “포크(folk) 모델 구조”를 정의하고 그 존재를 증명한다. 연구 동기는 기존에 알려진 모노이드의 유한 재작성 시스템이 갖는 유한 파생형(type)과 동형성(derivation type) 특성을 ω‑카테고리 언어로 재표현하고자 하는 데 있다. 이를 위해 먼저 ω‑Cat이 로컬 프레젠터블하고 완전·공완전함을 확인한다. 그런 다음 Smith 정리(조건 S1‑S4)를 만족하도록 두 핵심 자료를 설계한다. 첫 번째 자료는 생성 코피브라트 집합 I이다. I는 구형(globular) 셀들의 경계 포함 사상 ∂Gⁿ→Gⁿ (모든 n≥0)과 같은 기본 사상들로 구성된다. 이 사상들을 통해 자유적으로 생성된 ω‑카테고리, 즉 폴리그래프(polygraph) S*는 정확히 코피브라트 객체가 된다. 두 번째 자료는 약한 동등성 클래스 W이다. W는 “ω‑동등”이라 명명되며, 두 평행 셀 x, y가 ω‑동등이면 그 사이에 가역적인 원통 C(x,y) 가 존재한다는 조건을 만족한다. 이 원통은 뒤에서 정의되는 엔도펑터 Γ가 만들어내는 객체이며, 가역성은 1‑셀 수준에서 역원을 갖는 구조로 귀결된다. 조건 S2(I‑inj⊆W)는 I‑inj가 바로 이러한 가역 원통을 보존함을 보임으로 증명한다. S1의 3‑for‑2 성질은 Γ‑구축을 이용해 약한 동등성의 전이성을 확보한다. 특히, f:X→Y와 g∘f∈W이면 g∈W임을 보이기 위해 “가역 원통의 전이”를 정교히 다룬다. 조건 S3(I‑cof∩W가 푸시아웃과 전이합성에 대해 닫혀 있음)은 직접적인 폐쇄가 실패함을 인식하고, 새로운 클래스 Z(immersion)를 도입한다. Z는 Γ를 이용해 정의된 “삽입형” 사상들의 집합으로, Z는 푸시아웃에 대해 닫혀 있으며 I‑cof∩W⊆Z⊆W가 성립한다. 따라서 I‑cof∩W도 푸시아웃에 대해 닫힌다. 조건 S4(solution set)에서는 각 i∈I에 대해 J_i를 구성한다. 여기서는 J_i가 단일 사상(특정 “표준” 트리비얼 코피브라트) 하나로 충분함을 보이며, 전체 J=⋃_i J_i가 요구되는 솔루션 집합이 된다. 이 모든 검증을 통해 Smith 정리를 적용, ω‑Cat에 조합적 모델 구조가 존재함을 확립한다. 모델 구조의 특징은 다음과 같다. (1) 모든 객체가 피브라트이며, (2) 자유 ω‑카테고리(폴리그래프)가 코피브라트, (3) 약한 동등성은 위에서 정의한 ω‑동등이다. 다음으로, 오른쪽 수반 U_n: ωCat→nCat (ω‑카테고리를 n‑차원으로 제한) 를 이용해 모델 구조를 전이한다. 전이된 구조는 n‑카테고리에서도 조합적이며, n=1,2일 때는 기존에 알려진 “포크” 모델 구조와 정확히 일치한다. 이는 ω‑차원에서의 호몰로지 이론이 n‑차원에서도 일관되게 작동함을 의미한다. 마지막으로, 폴리그래프가 코피브라트 객체라는 사실을 이용해 기존 결과(