나는 정의될 수 없는 존재

초록

이 논문은 “I”라는 개념을 형식적으로 정의하려는 시도가 근본적인 모순에 부딪히며, 정의 가능성 자체를 재검토해야 함을 보여준다. 기존의 정의 가능성 개념을 일반화하고, 속성·정의의 관계를 새롭게 설정함으로써 “I”는 어떠한 형식 체계에서도 완전히 규정될 수 없음을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 “정의 가능성(definability)”을 메타수학적 관점에서 재정의한다. 전통적으로는 특정 언어 내에서 대상이 고유한 기호열로 표현될 수 있는지를 묻는 것이었지만, 저자는 이를 “어떤 체계 내에서 그 대상이 모든 가능한 속성 집합에 대해 고유한 판별자를 가질 수 있는가”라는 보다 포괄적인 기준으로 확장한다. 이 과정에서 속성(property)을 단순히 일차적 특성으로 보는 것이 아니라, 속성 자체가 또 다른 속성을 생성할 수 있는 메타속성으로 취급한다.

그 다음, “I”라는 주체를 자기참조적 구조로 모델링한다. “I”는 자신을 인식하고, 자신의 인식 행위를 기술하는 동시에, 그 자체가 기술되는 대상이 된다. 이러한 이중성은 고전적인 라벨링 방식으로는 포착할 수 없으며, 라벨이 자기 자신을 가리키는 경우 라벨링 함수가 비정상적 고정점을 형성한다는 점을 보인다.

핵심 정리는 두 단계로 전개된다. 첫째, “I”에 대한 모든 가능한 속성 집합을 열거하면, 그 중 적어도 하나는 “I”가 스스로를 부정하거나, 자신을 초월하는 메타속성이 된다. 이는 라우셀의 “거짓말쟁이 역설”과 유사하게, 자기언급이 포함된 정의는 일관성을 유지할 수 없음을 의미한다. 둘째, 이러한 메타속성을 포함한 정의 체계는 완비성(complete)과 일관성(consistency)을 동시에 만족시킬 수 없으며, 따라서 “I”를 완전하게 정의하는 어떠한 공식도 존재하지 않는다.

논문 중간에 등장하는 역설은 “정의 가능한 속성”과 “정의 불가능한 속성” 사이의 경계를 흐리게 만든다. 저자는 이를 해결하기 위해 속성의 계층을 두 단계로 나누고, 최상위 계층에서는 정의 가능성을 포기한다는 원칙을 도입한다. 결과적으로 “I”는 최상위 메타속성에 머무르며, 이는 어떠한 하위 언어로도 완전히 기술될 수 없다는 결론에 도달한다.

이러한 논증은 형식 논리, 집합론, 그리고 인지 과학에서 자기참조와 메타인식을 다루는 기존 연구와 일맥상통한다. 특히, 고전적 형식 체계에서의 고정점 정리와 자기참조적 함수의 비정상성 결과를 활용함으로써, “I”라는 주체가 형식적으로 정의될 수 없다는 강력한 메타수학적 증명을 제공한다.