시간창을 고려한 여행 수리공 및 가속 배달원 문제의 근사 알고리즘

초록

본 논문은 단위 길이 시간창을 갖는 서비스 요청들을 대상으로, 방문 가능한 요청 수를 최대화하는 여행 수리공 문제와 모든 요청을 만족시키기 위한 최소 속도 배율을 찾는 가속 배달원 문제에 대해 상수 계수의 다항시간 근사 알고리즘을 제시한다. 트리 구조와 일반 그래프에 대해 각각 3‑근사와 6‑근사(수리공), 4‑근사와 8‑근사(배달원)를 달성하며, 시간창 길이가 제한된 범위에 있는 경우에도 확장 가능함을 보인다.

상세 분석

이 논문은 전통적인 TSP에 시간창(time windows) 제약을 추가한 두 변형, 즉 여행 수리공(Traveling Repairman) 문제와 가속 배달원(Speeding Deliveryman) 문제를 다룬다. 두 문제 모두 서비스 요청이 위치와 단위 길이 시간창을 갖는 가중 무방향 그래프 위에 배치된다. 수리공 문제는 방문 가능한 요청 수(또는 동일한 이익)를 최대화하는 최대화 문제이며, 배달원 문제는 모든 요청을 만족시키기 위해 필요한 최소 속도 배율을 찾는 최소화 문제이다.

핵심 기법은 **트리밍(trimming)**이다. 시간축을 0.5 간격으로 나누어 각 요청의 단위 시간창을 완전히 포함하는 하나의 구간(‘타깃 구간’)으로 축소한다. 트리밍은 수리공의 최적 이익을 최대 3배 이하로 감소시키고(‘Limited Loss Theorem’), 배달원의 최소 속도 배율을 최대 4배 이하로 증가시킨다(‘Small Speedup Theorem’). 이는 각 요청이 세 종류(타깃, 이른, 늦은) 중 하나에 속한다는 사실을 이용해, 최적 해의 적어도 1/3을 보존하거나 속도 배율을 4배 이내로 제한함을 증명한다.

트리 구조에 대해서는 트리밍 후 동적 프로그래밍(DP) 을 적용한다. 트리의 직접 경로를 하나의 노드로 압축하고, 각 서브트리에서 얻을 수 있는 이익을 비용-이익 비율에 따라 선택한다. ‘SWEEP‑TREE’ 알고리즘은 각 노드 u에 대해 가능한 이익 p(0≤p≤π(u))에 대한 최소 비용 L_u