초월대수의 호몰로지: 모리타 불변성 직접 증명

초록

본 논문은 $\mathbb{Z}_2$-그레이딩을 가진 대수(슈퍼대수)의 호몰로지인 Hochschild homology가 모리타 동형에 대해 불변임을 직접적인 사상 구성과 사슬 복합체 비교를 통해 증명한다. 기존에 알려진 범주론적 접근을 배제하고, 구체적인 복합체와 사상으로 증명을 전개함으로써 슈퍼대수의 경우에도 전통적인 Hochschild homology의 모리타 불변성이 그대로 유지된다는 사실을 명확히 확인한다.

상세 분석

논문은 먼저 슈퍼대수 $A$와 $B$가 서로 모리타 동형이라는 가정 하에, 두 대수 사이에 존재하는 전형적인 $(A,B)$-이중모듈 $P$와 $(B,A)$-이중모듈 $Q$를 도입한다. 여기서 $P\otimes_B Q\cong A$와 $Q\otimes_A P\cong B$라는 동형을 만족한다는 점이 핵심 전제이다. 저자는 이 이중모듈 쌍을 이용해 Hochschild 복합체 $C_\bullet(A)$와 $C_\bullet(B)$ 사이에 체 사상 $\Phi_\bullet:C_\bullet(A)\to C_\bullet(B)$를 명시적으로 정의한다.

$\mathbb{Z}_2$-그레이딩을 고려하기 위해 각 텐서 곱에 대한 부호 규칙을 세밀히 조정한다. 구체적으로, $C_n(A)=A^{\otimes (n+1)}$의 원소 $a_0\otimes\cdots\otimes a_n$에 대해, $\Phi_n$는 \