양자 어닐링 기반 클러스터링 알고리즘

초록

본 논문은 시뮬레이티드 어닐링(SA)을 확장한 양자 어닐링(QA)을 클러스터링 문제에 적용한다. QA의 전이 확률을 유도하고, 실험에 적합한 annealing schedule을 제안한다. 실험 결과, 제안된 QA 알고리즘이 SA보다 더 낮은 목적함수 값을 얻으며, 구현 난이도 역시 유사함을 보인다.

상세 분석

이 논문은 클러스터링을 에너지 최소화 문제로 모델링하고, 전통적인 SA가 온도 파라미터에 의존해 확률적 전이를 수행하는 데 반해, QA는 양자 터널링 효과를 활용해 보다 효율적인 탐색을 가능하게 한다는 점에 주목한다. 저자들은 먼저 클러스터링 상태를 이진 벡터 형태로 표현하고, 각 데이터 포인트가 어느 클러스터에 속하는지를 변수 x_i^k (i: 데이터, k: 클러스터) 로 정의한다. 이때 목적함수는 일반적인 K‑means와 유사하게 군집 내 분산을 최소화하는 형태이며, 이를 Ising 모델의 해밀토니안 H_P 로 변환한다.

양자 어닐링은 두 개의 해밀토니안 H_P (문제 해밀토니안)와 H_D (드라이버 해밀토니안, 보통 transverse field) 를 선형적으로 혼합한 H(t)=A(t)H_D+B(t)H_P 로 구성한다. 여기서 A(t)와 B(t)는 시간에 따라 감소·증가하는 스케줄 함수이며, 최종적으로 A→0, B→1이 되도록 설계한다. 논문은 H_D 를 σ_i^x 연산자로 정의해 각 스핀(클러스터 할당)의 플립을 촉진하고, 양자 터널링을 통해 지역 최소점에 머무르는 현상을 완화한다.

핵심 기여는 두 가지이다. 첫째, 클러스터링에 특화된 전이 확률 식을 도출한다. 저자들은 Suzuki‑Trotter 분해를 이용해 d‑차원(데이터 수)·M‑레플리카(양자 경로) 시스템을 고전적인 2D 격자로 매핑하고, 이를 기반으로 Metropolis‑Hastings 업데이트 규칙을 제시한다. 전이 확률은 온도 T와 양자 강도 Γ (즉, A(t)/B(t) 비율) 에 의존하며, Γ가 클수록 다중 클러스터 간 전이가 활발해진다.

둘째, 실용적인 annealing schedule 을 제안한다. 기존 QA 연구에서는 선형 스케줄이 일반적이었지만, 클러스터링에서는 초기 단계에서 높은 Γ와 낮은 T 를 유지해 탐색 범위를 넓히고, 중간 단계에서 Γ를 급격히 감소시켜 지역 최적화로 전환한다. 구체적으로, t∈