정보기하학으로 보는 뉴턴 역학

초록

입자 위치에 불가피한 불확실성이 존재한다는 가정 아래, 입자의 상태를 확률분포로 정의한다. 이 확률분포들의 매니폴드에 정보계량을 부여해 기하학적 구조를 만들고, 최대 엔트로피 원리를 적용해 궤적을 추론한다. 물리적 가정(운동법칙, 작용원리, 운동량, 위상공간, 시간 등)을 전혀 도입하지 않아도 뉴턴 역학이 자연스럽게 재현되며, 질량과 상호작용 역시 통계적 기하학의 결과로 해석된다.

상세 분석

이 논문은 물리학의 전통적 기초를 ‘정보’라는 새로운 기반 위에 재구성한다. 핵심 전제는 입자의 위치가 완전히 확정될 수 없으며, 최소한의 불확실성(예: 가우시안 폭)으로 기술된 확률분포가 실제 상태라는 점이다. 이러한 확률분포들의 집합은 ‘통계적 매니폴드’를 형성하고, 매니폴드 위에 정의되는 피셔 정보계량은 자연스럽게 거리 개념을 제공한다. 정보계량은 두 확률분포 사이의 구별 가능성을 측정하므로, 물리적 거리와 동일시될 수 있다.

매니폴드의 기하학적 구조는 질량과 포텐셜을 내재한다. 구체적으로, 입자 i의 질량 mi는 해당 확률분포의 폭 σi와 관계가 있으며, σi가 작을수록 큰 질량을 의미한다. 또한 외부장이나 상호작용은 매니폴드의 곡률에 반영된다. 곡률 텐서는 상호작용 포텐셜의 2차 미분 형태와 일치한다는 점에서, 전통적인 힘‑포텐셜 관계가 정보기하학적 언어로 전환된다.

동역학은 ‘최대 엔트로피 원리(Maximum Entropy, ME)’를 통해 도출된다. 초기와 최종 상태 사이의 확률분포를 연결하는 경로는 엔트로피를 최대화하는 경로, 즉 정보 기하학에서의 ‘geodesic’가 된다. 이 geodesic 방정식은 라그랑지안 형태의 변분 원리와 동일하게 전개되며, 결과적으로 뉴턴의 제2법칙 F=ma가 자연스럽게 얻어진다. 흥미로운 점은 시간 자체가 외부 매개변수가 아니라, 확률분포가 진화하는 과정에서 내부적으로 정의된 매개변수라는 점이다. 따라서 시간은 ‘엔트로피 흐름’의 파라미터로 해석된다.

논문은 다입자 시스템까지 일반화한다. 각 입자의 확률분포가 독립적인 차원을 이루면서도, 상호작용에 의해 매니폴드가 얽히게 된다. 이때 전체 매니폴드의 정보계량은 질량 행렬과 포텐셜 행렬을 동시에 포함한다. 결과적으로, 다입자 뉴턴 역학, 즉 질량·힘·가속도의 전통적 공식이 통계적 매니폴드 위의 geodesic 방정식으로 재현된다.

이 접근법은 물리량을 ‘추정 변수(estimation parameter)’로 보는 베이지안 관점과도 일맥상통한다. 질량과 힘이 ‘추정 불확실성’의 기하학적 결과라면, 물리학은 결국 ‘정보 추론’의 한 형태가 된다. 이는 양자역학이나 상대성 이론과의 연결 고리를 제공할 가능성을 열어준다.