데제안 추측 증명: n 15~26에 대한 완전 해결

초록

본 논문은 알파벳 크기 n에 대한 반복 임계값을 다루는 데제안(Dejean) 추측을 최종적으로 해결한다. 기존에 2≤n≤14까지는 증명이 알려졌으나, 15≤n≤26에 대해서는 미해결 상태였다. 저자들은 새로운 모픽(morphic) 구조와 컴퓨터 기반 검증을 결합하여, 각 n에 대해 최소 반복 비율을 정확히 구하고, 이를 통해 데제안 추측이 모든 정수 n에 대해 성립함을 보였다.

상세 분석

데제안 추측은 알파벳 크기 n에 대해 “반복 임계값”(repetition threshold, RT)이라 불리는 최소 비율 rₙ을 찾는 문제이다. rₙ은 무한히 긴 단어가 “rₙ-프리”(rₙ 이하의 반복을 포함하지 않음)일 수 있는 가장 작은 실수값으로 정의된다. 기존 연구에서는 n=2에 대해 r₂=2, n=3에 대해 r₃=7/4, n=4에 대해 r₄=7/5 등 구체적인 값이 알려졌으며, 5≤n≤14까지는 다양한 모픽 사상과 압축 기법을 이용해 증명이 완료되었다. 그러나 15≤n≤26 구간은 구조가 복잡해 기존 방법만으로는 충분한 증명을 제공하지 못했다.

본 논문은 두 가지 핵심 전략을 도입한다. 첫째, “다중 레벨 모픽 사상”을 설계하여 작은 알파벳에 대한 rₙ-프리 단어를 큰 알파벳으로 확장한다. 이 사상은 각 문자에 대해 길이 𝓁의 블록을 할당하고, 블록 내부와 블록 간의 교차 반복을 엄격히 제한하도록 설계되었다. 특히, 사상의 반복 방지 조건을 수학적으로 정형화하여, 사후에 발생할 수 있는 모든 잠재적 𝛼-반복(α>rₙ)을 명시적으로 배제한다.

둘째, 컴퓨터 기반 “자동 검증 프레임워크”를 구축한다. 이 프레임워크는 생성된 무한 단어의 접두사들을 일정 길이까지 전개하고, 모든 가능한 구간에서 rₙ-프리 조건을 검사한다. 검증 과정에서는 SAT 솔버와 정규 표현식 매칭을 결합해, 반복 패턴 탐지를 효율화하였다. 특히, n이 커질수록 발생 가능한 패턴 수가 기하급수적으로 증가하는 점을 고려해, “패턴 클래스터링” 기법을 도입해 중복 검사를 최소화했다.

논문은 각 n∈