아슬람의 P NP 주장에 대한 철저한 반박

초록

아슬람이 제시한 불완전 이분 그래프에서 완전 매칭을 셈하는 알고리즘은 #P‑완전 문제를 다항시간에 해결한다는 주장이다. 본 논문은 해당 알고리즘이 완전 매칭 수를 정확히 계산하지 못함을 구체적인 반례와 이론적 분석을 통해 증명한다. 핵심은 알고리즘이 CVMP(완전 유효 다중 경로)들의 ER(필요 에지 집합)을 보존하지 못해 잘못된 카운트를 만든다는 점이다.

상세 분석

아슬람 논문은 완전 이분 그래프 (B G_n)의 모든 완전 매칭을 순열로 표현하고, 이를 생성 그래프 (\Gamma(n))의 CVMP(Complete Valid Multiplication Paths)와 일대일 대응시킨다. 각 CVMP는 노드 ((i,k,j_i)) 로 구성된 DAG에서 시작해 길이 (n)의 경로를 만든다. 논문은 CVMP를 부분 경로(VMPSet)로 나누어 곱셈·덧셈 연산을 반복하면 (\log n) 단계 안에 전체 CVMP 집합을 얻을 수 있다고 주장한다. 핵심 전제는 “모든 VMPSet이 동일한 ER(Edge Requirements)을 유지한다”는 것이다.

하지만 ER은 단순히 각 노드가 포함하는 에지 집합에서 불필요한 surplus edge(SE)를 제외한 결과이며, SE는 경로마다 달라질 수 있다. 곱셈 연산 (VMPSet(a,b)\times VMPSet(b,c))은 두 부분 경로를 연결하면서 새로운 SE를 생성하거나 기존 SE를 소멸시킨다. 따라서 결과 VMPSet은 동일한 ER을 보장하지 못한다. 논문은 이를 무시하고 Lemma 5.9를 “필수 조건”으로 삼아 증명을 진행하지만, 실제로는 SE가 서로 다른 두 경로가 같은 VMPSet에 포함될 경우 ER이 서로 달라져 잘못된 카운팅이 발생한다.

구체적인 반례는 (n\ge9)인 경우에 (\Gamma(9))의 서브그래프 (\gamma)를 선택하고, 특정 불완전 이분 그래프 (B G’_n)에 대해 일부 CVMP가 ER = ∅(유효)이고 다른 CVMP는 ER ≠ ∅(무효)임을 보인다. 알고리즘은 (\gamma)를 통해 모든 CVMP를 합산하지만, 실제 (B G’_n)에서는 유효한 매칭이 부족함에도 불구하고 ER = ∅인 경로만을 세어 과대평가한다.

결과적으로 아슬람의 알고리즘은 #P‑완전 문제를 다항시간에 해결하지 못하며, NP = P를 증명하는 데 필요한 핵심 논리인 “ER 보존”이 성립하지 않음이 명백히 드러난다.