경계가 있는 다양체의 지수 정리

초록

본 논문은 Connes가 제시한 변형 군집(deformation groupoid)과 그에 대한 ℝⁿ 작용을 이용한 Atiyah‑Singer 지수 정리 증명을 확장하여, 경계가 존재하는 매니폴드에 대한 새로운 지수 정리를 제시한다. 이를 위해 b‑tangent 군집과 adiabatic 변형을 도입하고, 분석적 지수와 위상학적 지수를 K‑이론 수준에서 동일시함으로써 기존의 Atiyah‑Patodi‑Singer 이론과 자연스럽게 연결한다.

상세 분석

논문은 먼저 Connes가 닫힌 다양체에 대해 제시한 tangent groupoid 𝔾ₜ와 그 ℝᴺ 상의 적절한 작용을 복습한다. 이 구조는 t→0에서의 비가역적 변형을 통해 미분 연산자의 기호(symbol)와 실제 연산자를 연결시키는 역할을 한다. 저자들은 이 아이디어를 경계가 있는 매니폴드 M에 적용하기 위해 b‑tangent groupoid 𝔾ᵇ를 정의한다. 𝔾ᵇ는 내부에서는 기존의 tangent groupoid와 동일하지만, 경계 ∂M 근처에서는 b‑벡터장(b‑vector fields)을 이용해 경계와 접선 방향을 동시에 포착한다.

그 다음 단계는 adiabatic 변형 𝔾ᵃ𝑑ᵢᵃb을 도입하는 것이다. 이는 파라미터 s∈