다변량 정규 회귀 모델의 편향 보정 일반 파라미터화

본 논문은 다변량 정규 회귀 모델을 일반적인 파라미터화 형태로 확장하고, 해당 모델의 최대우도 추정량(MLE)의 2차 편향을 체계적으로 분석한다. 전통적인 다변량 회귀에서는 평균벡터 μ와 공분산 행렬 Σ가 서로 독립적인 파라미터에 의해 정의된다고 가정한다. 그러나 오류‑인‑변수 모델이나 측정오차가 포함된 경우, μ와 Σ가 동일한 파라미터 θ에 의해 동시에 결정된다. 이러한 상황을 포괄하기 위해 논문은 다음과 같은 모델을 설정한다. 1. **모델 정의** - 관측값 Y_i (크기 q) 는 Y_i = μ_i(θ) + u_i 로 표현된다. - 오차 u_i 는 N_q(0, Σ_i(θ)) 을 따르며, μ_i(θ)와 Σ_i(θ) 는 각각 θ 에 대해 3차 연속 미분 가능하도록 가정한다. - 전체 데이터는 Y = vec(Y_1,…,Y_n) , μ = vec(μ_1(θ),…,μ_n(θ)) , Σ = diag{Σ_1(θ),…,Σ_n(θ)} 로 구성된다. 2. **로그우도와 도함수** - 로그우도 ℓ(θ) 는 -½ log|Σ| -½ tr{Σ⁻¹ uuᵀ} 형태이며, 여기서 u = Y - μ. - 1차 도함수 U_r, 2차 도함수 U_{sr}, 3차 도함수 U_{tsr} 를 행렬 미분법을 이용해 전개한다. 주요 기호는 다음과 같다. - a_r = ∂μ/∂θ_r, C_r = ∂Σ/∂θ_r, A_r = -Σ⁻¹ C_r Σ⁻¹. - 기대값 κ_{sr}=E