직접 파형 반전과 반복 역전파

초록

본 논문은 지구 내부 구조를 완전 파형(FWI)으로 복원하기 위해, 지진계측자료와 지구 구조 자체를 연결하는 비선형 Fredholm 적분식을 도출하고, 이를 반복적인 역전파 알고리즘으로 풀어내는 새로운 방법을 제시한다. 1차원 테스트에서 높은 해상도와 수렴성을 보이며, 무작위 탐색이나 미스핏 함수 없이 결정론적으로 해를 얻는다.

상세 분석

이 연구는 전통적인 지진 탐사에서 사용되는 전파 정합(migration)이나 선형 토모그래피와는 근본적으로 다른 접근법을 제시한다. 저자들은 파동 전파 방정식의 해를 Green 함수 형태로 표현하고, 관측된 지진파와 모델 파라미터 사이에 비선형 Fredholm 적분식을 구축한다. 이 적분식은 지구 구조가 자신에게 다시 산란되는 과정을 명시적으로 포함하므로, 다중 산란 효과를 자연스럽게 다룰 수 있다. 핵심 아이디어는 ‘역전파(inverse propagation)’를 이용해 현재 모델이 생성한 가상 파형을 실제 관측 파형과 비교하고, 그 차이를 이용해 모델을 갱신하는 반복 절차이다. 구체적으로, 초기 모델(보통 균일 속도)에서 forward 모델링을 수행해 합성 파형을 얻고, 이를 관측 파형과 차감한 잔차를 역전파 연산에 입력한다. 이 역전파는 적분식의 커널을 이용해 잔차를 모델 파라미터 공간으로 투사하고, 업데이트 규칙은 Fredholm 방정식의 Neumann 급수 전개와 유사하게 구성된다.

알고리즘은 전형적인 비선형 최적화에서 요구되는 비용 함수와 그 그라디언트를 명시적으로 정의하지 않는다. 대신, 매 반복마다 파동 방정식의 직접 해와 역해를 반복적으로 계산함으로써 ‘자연스러운’ 경로를 따라 해를 탐색한다. 이는 전역 최적화에 비해 지역 최소에 빠질 위험이 적으며, 파라미터 공간을 전부 탐색하지 않아도 된다. 그러나 매 반복마다 전파와 역전파를 수행해야 하므로 계산량이 매우 크다. 저자들은 1차원 문제에 한정해 고해상도 격자를 사용했음에도 수십 개의 반복만으로 수렴함을 보였으며, 이는 알고리즘의 수렴 특성이 좋은 편임을 시사한다.

수학적으로는 Fredholm 적분식이 강하게 비선형이며, 커널이 모델 파라미터에 의존하기 때문에 수렴 보장은 초기 모델에 크게 좌우된다. 저자는 초기 모델을 단순 균일 속도로 설정했지만, 실제 3차원 탐사에서는 보다 정교한 사전 모델이 필요할 것으로 예상된다. 또한, 소스 파형의 정확한 추정이 전제 조건이며, 소스와 수신기의 잡음 및 불완전한 데이터 커버리지는 알고리즘의 안정성에 영향을 미친다.

이 방법은 Marchenko 반사법과 유사한 ‘역전파’를 이용한다는 점에서 흥미롭다. Marchenko 방법은 반사 파형만을 이용해 내부 구조를 복원하지만, 본 논문은 전체 파형(전달파와 반사파 모두)을 활용한다는 차별점을 가진다. 따라서 데이터 요구량이 더 크지만, 더 높은 해상도와 정확도를 기대할 수 있다. 향후 2차원·3차원 확장, 병렬화 전략, 그리고 정규화 기법 도입을 통해 실제 현장 데이터에 적용 가능한 수준으로 발전시킬 여지가 충분히 존재한다.