퍼지 멘소르: 퍼지 집합을 위한 새로운 대수적 틀

본 논문은 “퍼지 멘소르”라는 새로운 대수적 구조를 제안하고, 이를 통해 퍼지 집합 이론을 보다 일반적인 수학적 틀 안에서 재구성한다. 서론에서는 Zadeh의 퍼지 이론을 간단히 소개하고, 퍼지 집합의 멤버십 함수를 직접 다루지 않고도 연산을 정의하고자 하는 동기를 제시한다. 저자는 ‘외부 곱셈’이라는 연산을 도입하여, 퍼지 집합 \(A\)에 양의 실수 \(\lambda\)를 곱하면 새로운 퍼지 집합 \(A\lambda\)가 생성되며, 그 멤버십 함수는 \(\mu_{A\lambda}(x)=\mu_A(x)^{\lambda^{-1}}\) 로 정의된다. 이는 \(\lambda=1\)일 때 원래 집합을 복원하고, \(\lambda<1\)이면 더 선택적인 집합, \(\lambda>1\)이면 더 포괄적인 집합이 된다. 다음 장에서는 양의 실수 집합 \(\mathbb{R}^{+}\)에 두 연산, 곱셈과 최대값 연산 \(\oplus\)를 정의한다. \(\oplus\)는 ‘덧셈’으로 해석되며, 이는 전통적인 반대수 구조와 유사하지만, 실제 연산은 두 실수 중 큰 값을 선택한다. 멘소르 공간 \(M\)은 이러한 \(\mathbb{R}^{+}\) 위의 반모듈로 정의되며, 외부 스칼라 곱 \(A\lambda\)와 내부 연산 \(+\) (최대값) 사이에 네 가지 공리(항등성, 스칼라 덧셈 분배, 멘소르 덧셈에 대한 스칼라 분배, 스칼라 곱의 결합)를 만족한다. 이 공리들로부터 멘소르의 덧셈이 멱등임을 증명하고, 순서 관계 \(A\subseteq B \iff A+B = B\) 를 정의한다. ‘공백 멘소르’ \(s_0\)와 ‘전체 멘소르’ \(s_1\)를 도입함으로써, 모든 멘소르는 양(positive)이며 영합(zero‑sum‑free) 성질을 가진다. 특히 \(s_0\lambda = s_0\) (0≤λ≤1)와 \(s_1\lambda = s_1\) (λ≥1)라는 특수한 불변성을 보인다. 보완 연산 \(\overline{A}\)는 일련의 공리(자기 보완, 전체와 공백의 교환, 스칼라와 보완의 교환, 순서 반전)를 만족한다. 여기서 저자는 전통적인 보완 함수 \(1-x\) 대신 \(c_k(x)=e^{k\ln x}\) 를 사용한다. \(c_k\)는 \(k\to0\)일 때 \(1-x\)에 근접하고, \(k>0\)이면 보완이 더 부드럽게 변한다. 이 함수는 구간 \(