프로젝티브 측정과 양자 Tsallis 엔트로피

초록

본 논문은 프로젝티브 측정이 양자 상태의 Tsallis 엔트로피를 감소시키지 않음을 증명한다. 기존의 von Neumann 엔트로피에 대한 결과와 유사한 방법으로 일반적인 (r, s) 통합 엔트로피에 대해서도 동일한 비감소 성질을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 양자 Tsallis 엔트로피 (S_q(\rho)=\frac{1}{1-q}\bigl(\operatorname{Tr}\rho^q-1\bigr)) 를 정의하고, (q>0, q\neq1) 인 경우에 대해 성질을 검토한다. 기존의 von Neumann 엔트로피 (S(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log\rho)) 가 프로젝트 연산 ( {P_i} ) (완전 직교 투영 연산자 집합) 에 대해 (S\bigl(\sum_i P_i\rho P_i\bigr)\ge S(\rho)) 를 만족한다는 사실을 이용해, Tsallis 엔트로피에도 동일한 부등식이 성립함을 보인다. 핵심은 함수 (f(x)=x^q) 가 (q\ge1) 일 때 볼록(convex)하고, (0<q<1) 일 때는 오목(concave)이라는 점이다. 이때 Jensen 부등식을 적용하면 (\operatorname{Tr}\bigl(\sum_i P_i\rho P_i\bigr)^q \le \operatorname{Tr}\rho^q) (또는 그 반대) 가 성립한다. 이를 Tsallis 엔트로피 정의에 대입하면, 부호에 관계없이 (S_q\bigl(\sum_i P_i\rho P_i\bigr)\ge S_q(\rho)) 가 도출된다.

다음으로, 논문은 보다 일반적인 양자 통합 엔트로피 (\mathcal{S}_{r,s}(\rho)=\frac{1}{(1-r)s}\bigl