닫힌 범주와 닫힌 다중범주의 비교

초록

본 논문은 에일렌베르크와 켈리(Eilenberg–Kelly)가 제시한 닫힌 범주 이론과 최근에 정의된 닫힌 다중범주 이론 사이에 존재하는 2‑범주적 구조를 비교한다. 두 이론을 각각 2‑범주로 정식화한 뒤, 적절한 전사와 전역을 구성하여 이들 2‑범주가 동등함을 증명한다. 이를 통해 닫힌 구조를 다중연산적 관점에서 재해석할 수 있음을 보이며, 기존 닫힌 범주의 주요 결과들을 다중범주적 언어로 옮길 수 있음을 확인한다.

상세 분석

논문은 먼저 닫힌 범주의 전통적 정의를 재정리한다. 에일렌베르크와 켈리는 닫힌 범주를 ‘텐서 구조와 내부 함수 객체(internal hom)’가 서로 왼쪽 및 오른쪽 적대적인 관계를 이루는 카테고리로 정의했으며, 이러한 구조는 ‘카테고리적 함자’와 ‘자연 변환’ 사이의 2‑범주적 관계를 통해 다루어졌다. 저자는 이 정의를 기반으로 2‑범주 ClosedCat을 구성한다. 객체는 닫힌 범주, 1‑셀은 강한 단사함자(strong monoidal functor), 2‑셀는 단사함자 사이의 단일 변환이다.

다음으로 닫힌 다중범주의 개념을 도입한다. 다중범주는 다중 입력을 허용하는 연산자를 갖는 구조로, 각 다중연산은 ‘다중함자(multimorphism)’라 불린다. 닫힌 다중범주는 모든 다중함자에 대해 내부 함수 객체가 존재함을 요구한다. 즉, 임의의 다중입력 (X_{1},\dots,X_{n})와 출력 (Y)에 대해 객체 (