자동·형상 단어의 최대 블록과 무리수 근사도

초록

형상 단어 w와 알파벳 Σ 위의 비공집합 Δ에 대해, Δ‑블록이 최대가 되는 구간 (iₖ, jₖ)를 고려한다. 논문은 k→∞ 일 때 jₖ⁄iₖ의 상한값이 w가 형상이면 대수적, 자동이면 유리수임을 증명한다. 이를 0‑블록·임의의 단어 x‑블록에 일반화하고, 해당 결과를 이용해 자동·형상 실수의 무리수 지수(irrationality exponent)가 각각 유리수·대수적이라는 결론을 얻는다.

상세 분석

본 논문은 형상(word morphic)과 자동(automatic) 언어 이론을 수론적 질문, 특히 무리수 근사도와 연결시키는 새로운 접근법을 제시한다. 먼저 Σ 위의 무한 단어 w와 그 부분집합 Δ⊂Σ를 잡고, w 안에서 Δ만으로 이루어진 연속 구간을 Δ‑블록이라 정의한다. 각 Δ‑블록은 주변에 Δ가 아닌 문자에 의해 양쪽이 막히므로 “최대”라는 성질을 갖는다. iₖ는 k번째 최대 Δ‑블록의 시작 위치, jₖ는 끝 위치라 두고 비율 rₖ=jₖ⁄iₖ를 살핀다. 핵심 질문은 lim supₖ rₖ가 어떤 종류의 수가 되는가이다.

형상 단어는 유한 알파벳 Σ와 비동형 사상 μ:Σ→Σ*와 초기 문자 a∈Σ에 의해 μⁿ(a)의 극한으로 정의된다. 자동 단어는 정규 언어와 동형 사상에 의해 k진 자동수열로 생성된다. 두 경우 모두 w는 반복 구조를 갖지만, 형상은 일반적인 교체 규칙에 의해 복잡도가 더 높고, 자동은 정규 언어의 제한된 복제 규칙에 의해 보다 규칙적이다.

저자들은 μ의 고정점 구조와 전이 행렬을 이용해 Δ‑블록의 길이와 위치를 선형 재귀식으로 기술한다. 특히, 블록 시작 위치 iₖ와 끝 위치 jₖ는 μ의 반복 적용에 따라 선형 동형 변환을 받으며, 그 비율 rₖ는 결국 μ의 고유값(특히 최대 실수 고유값)들의 대수적 조합으로 표현된다. 형상 경우에는 고유값이 대수적이므로 rₖ의 상한값도 대수적 수가 된다. 반면 자동 경우에는 전이 행렬이 0‑1 행렬이며, 고유값이 전부 정수이거나 단순히 1이므로 rₖ의 상한은 유리수가 된다.

이러한 구조적 분석을 바탕으로 저자들은 결과를 0‑블록(즉, Δ={0})뿐 아니라 임의의 단어 x에 대한 x‑블록으로 일반화한다. x‑블록은 w 안에서 x가 연속으로 나타나는 구간을 의미하며, 동일한 선형 재귀 구조가 적용된다. 따라서 lim supₖ (jₖ⁄iₖ)의 대수적·유리적 성질은 x에 무관하게 유지된다.

마지막으로, 이러한 블록 비율 결과를 무리수 근사도와 연결한다. 실수 α를 w의 디지털 전개(예: 0‑진법, 2‑진법 등)로 표현하고, α가 자동·형상 수열에 의해 생성된다고 가정한다. 블록이 길어질수록 α의 유리근사인 p/q가 연속된 0(또는 x) 블록에 의해 결정되며, q와 p의 비율은 바로 jₖ⁄iₖ와 관련된다. 따라서 lim supₖ (jₖ⁄iₖ) 가 유리수(자동) 혹은 대수적(형상)이라는 사실은 α의 무리수 지수 μ(α) 가 각각 유리수·대수적임을 의미한다. 저자들은 특정 클래스(예: 정규 언어에 의해 정의된 자동수, 또는 균등하게 성장하는 형상수) 내에서 이 결과를 엄밀히 증명하고, 기존에 알려진 무리수 지수의 상한을 개선한다.

이 논문은 형상·자동 언어의 구조적 특성을 수론적 측정값(irrationality exponent)과 직접 연결함으로써, 두 분야 사이의 교량을 놓는다. 특히, 자동수에 대한 무리수 지수가 항상 유리수라는 강력한 제한을 제공하고, 형상수에 대해서는 대수적 상한을 제시함으로써 향후 무리수 근사도 연구에 새로운 도구를 제공한다.